Tetrahedrális divergencia

Leírás

Mint általános elgondolás, ezen forma esszenciája jóval hamarabb, nem sokkal a tangenciális kohézió megtervezése után fogalmazódott meg bennem. A nagy vizuális eltérés ellenére a kettő valójában egész közeli rokonságban áll: konkrétan mindegyik nagy „S” alakú görbén osztoznak, noha ezenkívűl semmi máson. Miközben az előbbi a homorú és domború íveket a legdirektebb módon, minimálfelületekkel kötötte össze, az új alakzat ennél egy kicsit bonyolultabb.

Itt, a kaleidocikluson belüli keringés folyamán a szomszédos ívek nem közeledni fognak egymáshoz, a vízszintes sík mentén félúton találkozva, hanem ellenkezőleg, addig távolodnak, míg mindketten egybeesnek a forgástengellyel. A kapcsolódást az fogja létrehozni, hogy a divergencia végül eléri a 180 fokot, mikor is a kettő egyazon egyenesre fekszik rá, csak ellentétes irányból. Eltérően az átfedéssel, itt egyetlen közös pontjuk a kaleidociklus közepe lesz. Az alábbi stilizált ábra a két helyzet közti viszonyt szemlélteti: amíg az „A” esetben a kék és zöld háromszögek osztoznak egy oldalon, a „B” esetben ezek csupán ugyanazon az egyenesen fekszenek.

Hogy még több érdekes összefüggést találjunk, vissza kell térnünk az elemi tetrahedrális tércsempézőhöz. Az új forma ennek az alakzatnak egyféle „invertálása”, teljes kifordítása a rombdodekaéderes cella négy romboéderének függvényében. A tangenciális kohézió esetében az invertálás csak részleges volt, a függőleges „S” alakú alkotók véve át a vízszintesek helyét, miközben a szomszédos görbék félúton, a vízszintes síkban kapcsolódtak össze minden 60 fokos keringést követően. Itt azonban a keringő mozgás okozta átváltozás (a felszín létrehozása) is fordított, emígy nemcsak a nagy „S” alakú görbék, de minden ezek közötti szegmens is érintője lesz a függőleges tengelynek.

Amíg az elemi tetrahedrális tércsempéző esetében a kaleidociklus közepén áthaladó függőleges síkok vízszintes tangenciákban metszik a felületeket, a tetrahedrális divergencia esetében ezek a tangenciák függőlegesek lesznek. Lássuk, hogyan is fog mindez megnyilvánulni a gyakorlatban.

********************************************************************************

Szerkesztés

1. A váz

A fentiekben megfogalmazott koncepció megköveteli, hogy a kaleidocikluson belül minden 30 fokos keringési mozgás folyamán egyik nagy görbe (az „S” forma fele) a függőleges tengellyé alakuljon át. Ennek az egyenes szakasznak a pontos hossza a rombdodekaéderes cella tetrahedrális sugara lesz, miközben a kettejük közé eső rész ezen téregységen belül kell maradjon, ugyanakkor folyamatosan érintve a határait.

Ez a művelet a térfelosztást a tangenciális kohézióhoz képest megduplázza, emígy 24 azonos keret helyett itt 48-at fogunk kapni. Mindegyikük három szegmens által határolt, melyből egyik az „S” görbe fele, egyik az egyenes (fél)tengely, egyik meg az első mozgó végpontja által leírt pálya, miközben a másodikba alakul át. Határozzuk meg ezen harmadik szegmens mibenlétét.

A tangenciális kohézió esetében (de a tetrahedrális tércsempéző, elemi tetrahedrális tércsempéző, valamint a kontrasztoid esetében úgyszintén) ennek megfelelője a ferde hatszög-keret (kaleidociklus külső határa) élhosszának fele.

Itt azonban a leírt útvonal nem egyenes lesz, hanem egy másik Bézier görbe, mely a fentebbi két rajzon zöld színnel van ábrázolva. Az első képen a belső végpont (A) a 30 fokos elmozdulás függvényében (a keringéssel kapcsoltan), míg a külső végpont (B) az érintett rombuszlap nagyátlója viszonylatában (a folyamatos emelkedéssel, illetve ereszkedéssel kapcsoltan) kell tangens legyen. A második képen egy 12 zöld görbéből álló csoportosulást láthatunk a négy romboéder egyikének belsejében (egy kaleidociklus), ugyanakkor az „S” görbék kékkel, a forgástengely meg pirossal vannak megjelenítve.

A fenti ábra a 48 minimálfelület egyikének oldalnézetét mutatja („fél levél”), ahol a három határoló szegmens a korábbi útmutatás szerint van színezve.

2. A felületképzés

Miután az alapminta kerete készen van, a következő lépés ugyanaz, mint sok más korábbi alakzat esetében: megalkotjuk a három él által (itt két Bézier görbe és egy egyenes szegmens) határolt minimálfelületeket. Egy kaleidocikluson belül 12 minimálfelület jön létre, 6 a felső és 6 az alsó oldalon (lásd a lenti ábrát).

Ezek kettőnként osztozni fognak egy fél „S” görbén (jobb és baloldali), egy ilyen pár levélre emlékeztető struktúrát képez. Három levél van fent és három lent, szimmetrikus antiprizmális kompozícióban elrendezve: a függőleges sík viszonylatában ahol az egyik triád levele van, a másik hézaga található és fordítva. A felülnézet egy „élet virága” alapmintához hasonlatos, miközben a teljes térbeli elhelyezkedés ennek egyféle 3 dimenziós verziója.

A belső négy kaleidociklus (4×3 levél) egy bizonyos 8 ágú (4 rövidebb + 4 hosszabb) csillag formájú térrészt fog bezárni, miközben a külső négy különálló, térfogat nélküli hiperbolikus felület-csoportosulás marad. Ez csupán addig, míg össze nem illesztjük őket más tetrahedrális divergenciákkal a rombdodekaéderes tércsempézés szabályát követve, amikor is minden külső levél-hármas 3 vele azonos másikhoz csatlakozik, elméletileg a végtelenbe terjesztve a 8 ágú csillagos mintát. A lefedés a rombuszlapok felületein található Bézier görbék mentén történik, a végeredmény egy, a tetrahedrális molekuláris geometriát követő térháló lévén.

********************************************************************************

Összefüggése síkbeli formákkal

Az alábbi rajz a tetrahedrális divergencia síkbeli leképzését ábrázolja (zöldes-kék szín). A hatszöges mozaikozás a rombdodekaéderes tércsempézés két dimenziós megfelelője, ahol a virágszerű minta a hézagokat, míg az ezeket elválasztó köztes háló az előbbiekben leírt 8 ágú csillagok síkbeli verziója (itt 6 ágúak).

Minden hatszöges cellában egy 6 ágú csillag (a piros háromszögen belül), valamint 3 különálló, más csillagokhoz tartozó harmad (a piros háromszögen kívül) van, melyek középpontjai az eredeti hexagon 3 szimmetrikus sarkán találhatóak. Az általuk alkotott végtelen tapéta a háromszöges mozaikozáson alapul.

********************************************************************************

A fluid kontrasztoid

Egy hasonló elgondolási háttérrel rendelkező másik alakzat előzte meg a tangenciális kohéziót. Dióhéjban, mindkettő a korábbi fejezetben körülírt „ambivalens tölcséreken” alapul, a lényegi különbség köztük az, hogy amíg az első esetében az elsőszámú prioritás a konvex és konkáv komponensek közti fele-fele arány volt, addig a második esetében ezek összehangoltságán (folytonosságán) van a hangsúly.

*********************************************************************************

Megalkotása

1. A váz

Mivel zárt rendszer létrehozása a cél (térfogattal rendelkező alakzat), elkerülhetetlen, hogy a konvex alkotók hossza meghaladja a konkávokét. Egyenlő felosztásban a koherenciájuk csupán lineáris vagy planáris módon valósulhatna meg, mint a hullámpapír vagy a tojástartó esetében. Tetrahedrális szimmetria esetében ez kizárt. Mit lehetne akkor megőrizni a komplementaritás szintjén?

Talán lehetséges, hogy a rövidebb konkáv szakaszok pontos inverzei legyenek a konvexek azon részeinek, melyek a tölcsérek centrális struktúráját alkotják. Igen, így szerencsésen összeegyeztethetőek az elemek, ugyanakkor hamarosan kiderül, hogy csak két helyes megoldás létezik a problémára.

Megjegyzés: A szpeciális eset, mikor a négy tölcsér origója egybeesik a forma centrumában alapból bukik, mivel így a konkáv részeket elfednék a konvexek.

a) Az eredeti metódus: Tudjuk, hogy a négy origó egy képzeletbeli szabályos tetraéder csúcsain található és a belőle kiinduló radiális görbék jól meghatározott síkokhoz tartoznak (összesen 3×4=12, de páronként egybeesve ez hatra redukálódik). Mivel a tetrahedrális tengelyek 109.47 fokos szögeket alkotnak egymással, valamint a tölcsérek görbéi kettesével koplanárisak az említett szögeket alkotó tengelypárokkal, csak két lehetőség van rá, hogy a szomszédos görbék konvex végei folytonosságot képezzenek, más szóval törésmentesen kapcsolódjanak. Ez bizonyos elliptikus ívekkel lesz megoldható.

Az alábbi képen a két megoldás egyike látható, amikor a kapcsolódás a 109.47 fokos szögen belül valósul meg (a másikat a 70.52 fokos komplementer szög jelenti).

Ebben az esetben a szükséges görbék egy sajátos ellipszis bizonyos szegmensei lesznek, melynek különlegességei a nagyátló és a kisátló közti sqrt(2)-es arány, valamint (ebből kifolyólag) a fókuszpontjai közti távolság és a kisátló hosszának egybeesése. Emez egy henger 45 fokos síkkal való metszéséből nyerhető legegyszerűbben.

A lenti ábrán az ellipszis (bal), valamint a szomszédos konvex és konkáv ívek összekapcsolásából nyert struktúra (jobb) látható az O1 és O2, valamint az ellenpontokon automatikusan létrejövő O1′ és O2′ tölcsérközpontokkal. A festett szegmensekhez tartozó zöld konvex alkotók pontos komplementerei a hasonló módon jelzett kék konkáv ívek egész hosszának. Hat ilyen nyolcasszerű zárt görbét nyerünk, ha a négy tölcsér összes görbéjét fluensen csatlakoztatjuk a konvex végekben (J1, J1′). Ezek az egyesült konvex párok a stella octangula („csillagosított oktaéder”) tizenkét éle mentén rendeződnek el.

A konkáv végek tükörszimmetriával leképezik az origói folytonosságot (O1, O2), azonos csatlakozást hozva létre az ellenoldalon (O1′, O2′). Eképpen a kezdeti tetrahedrális szimmetria megduplázódik, oktahedrálissá mutálódik, következésképpen nyolc azonos, konektált tölcsérkeret jön létre. Itt a konkáv alkotók mindig szimultán két tölcsér részei, a konvexek meg a struktúrán belüli főszerepük mellett egyúttal más tölcsérek határait is képezik. Valójában mindegyik harmad két különböző tölcsér közös tartozéka (átfedés).

A másik megoldást a függőleges nyolcasra merőleges, nyúltabb formájú „komplementer nyolcas” jelentené (kifestetlen ellipszisek). Ahogy az ábrán megfigyelhető, ebben az esetben a görbületek lankásabban indulnak a tangenciákból és habár a csatlakozásoknál némi hátrányt behoznak, azonos centrum-origó távolságnál itt valamivel nagyobb kerület szükségeltetik (sugárfüggvényben sqrt(2)-szeres a különbség), tehát kevésbé „célratörő”, mint az első metódus. Maradunk hát a hatékonyabbiknál.

b) Kockából kiindulva: Vegyünk egy kockát és jelöljük be minden lapján az átlókat (összesen tizenkettő). Ezek az átlók a kocka éleivel páronként olyan egymást a forma szimmetria tengelyeiben merőlegesen metsző téglalapokat alkotnak (összesen hat) melyek nagy és kis oldalai közti arány sqrt(2). Vegyünk egyet közülük és mozdítsuk ki a saját síkjában szimultán a négy égtáj szerint pontosan egy hosszal, majd rajzoljunk az új, identikus téglalapok köré ellipsziseket. Ezek az ellipszisek tangensek lesznek egymással az eredeti téglalap négy sarkában.

Őrizzük meg a hosszabb oldalak szerinti eltolással nyert két téglalap (függőleges tengely) körüli ellipsziseknek a tangens pontokon kívül eső részeit, míg a rövidebb oldalak csúsztatásából kapottak (vízszintes tengely) körüliekből csak az érintőkön belülieket. A négy szektor egyben (két nagyobb konvex és két kisebb konkáv) kiadja a nyílt nyolcasunkat. Végezzük el ugyanezt a műveletet a maradék öt „átlós téglalappal” és megvan a fluid kontrasztoid vázszerkezete.

Ez egyben úgy képzelhető el, hogy egy kocka éleit befele görbítjük olyan mértékben, hogy a sarkokban a kezdeti 90 fokos vektorok 0 fokossá szűkülnek (a szimmetriatengelyekre simulnak), s ezzel szimultán a lapok átlóit olyan mértékben kidomborítjuk, hogy a kezdeti 60 fokos csúcsvektorok 360 fokossá (ellenirányból tangens) változnak. Ezáltal teljes élfolytonosságot nyerünk a sarkokon keresztül az előbb megalkotott konvex és konkáv ívek törésmentes kapcsolódásából.

*********************************************************************************

2. A felületképzés

A létrejövő hat nyolcasforma huszonnégy egyenlő részre osztotta a vázszerkezetet, ahol minden egyes 3D parcellát (J1O3’O1 az alábbi képen) egy konkáv és két konvex ív határol. A konvex ívek azonos méretűek és nagyobbak a konkávnál, viszont ennek pontos komplementerét magukban foglalják.

A háromoldalú keretek egyik alkotója sem koplanáris a másikkal. A felületképzés tekintetében a konvex és konkáv ívek közti folyamatos átmenetet a hármaskeretek által határolt minimálfelületek fogják megadni. Eképpen minden konvex alkotó olyan módon változik át konkáv alkotóvá, hogy a belső stabil végpontja (origó) körül 60 fokos fordulatot megtéve pontosan a saját konvex ívét képezi le a külső végpontjával (és viceversa).

A minimálfelületek tengelyfüggvényű irányuk szerint két, egymással ellentétes hármas csoportba oszthatóak az egyes tölcsérszerkezeteken belül, ahogy az a jobbszélső képen látható: a balról jobbra forgók a zöldek, a jobbról balra forgók a pirosak. Viszont, mivel mindegyik minimálfelület szimultán két tölcsérhez tartozik, az irányuk is szimultán kétféle (ambivalens), attól függ, hogy melyik kapcsolatát vesszük alapul.

Az alakzat kifesthető pepita (sakktábla) mintára azt a szimpla szabályt követve, hogy az első lap kezdőszíne után minden szomszédos (konvex vagy konkáv élet osztó) lapja a másik szín legyen. Az átfedések miatt négy tölcsérben (O1, O2, O3, O4) a zöldek lesznek a balról jobbra, a pirosak meg a jobbról balra forgók, az ellentétes origók körüli négy tölcsérben (O1′, O2′, O3′, O4′) meg fordítva.

*********************************************************************************

Homeomorfizmus a kontrasztoiddal

Ez a forma szembetűnő hasonlóságot mutat az általam korábban megalkotott geometriai struktúrával, innen a névrokonságuk. Felfogható ennek egyféle aránytartó módosításaként vagy továbbfejlesztéseként is, aminek során a kontrasztoid tengelyei összecsúsznak a felezőpontokba, ennek következtében az élek behajlanak és megképezik a konvex alkotókat, a konkávok meg ezen pontok között alakulnak ki a tengelyek centrumból történő szimultán felhajlásaiból, kettessével egybeesve. Ugyanakkor sokmindent megőriz ezen alakzat alaptulajdonságaiból: oktahedrális szimmetria, kaleidociklusokat képező minimálfelületek, a harmadok egyszerre két kompozícióhoz való tartozása.

A köztük lévő különbségek két kategóriába sorolhatóak a szabályosság függvényében. Egyfelől a rombikus dodekaéder keretre épülő formához képest az új alakzat összszimmetriája alacsonyabb fokú. A kontrasztoid 90 fokos hiperbolikus paraboloid oldalai már önmagukban is szimmetriakomplexumok, ennek és sajátos elrendezésüknek köszönhetően a centrumból kifele nézve a sarkok irányába pont ugyanaz a látvány, mint a nyolc, hármas csúcs felöl befele tekintve.

Másfelől, az élek viszonylatában magasabb szintű az összefüggés, mivel az alkotók fluidan kapcsolódnak egymáshoz (nincsenek sarkok). Eképpen a szögletes keret hármas éltalálkozásaiból tölcsérközpontok, míg a négyes csúcsokból lekerekített csatlakozási pontok lesznek. A kontrasztoiddal ellentétben, ami valójában nem egy önálló mértani test, hanem hat, élükben összeillesztett azonos rész alkotta kompozíció, a fluid változata egy kompakt alakzat.

*********************************************************************************

Említésre méltó

Ugyanazt a logikát követve, az ellentétes tangenciákat egy másik (szintén a rombdodekaéderes vázszerkezeten alapuló) felállításban kombinálva az alábbi képen látható, tetrahedrális szimmetriájú kompozíciót nyertem. Itt a pozitív alkotók nem folytatódnak fluidan a negatívakban, hanem ezek egymásra merőleges síkok tartozékai.

Ez egy meglehetősen „merész” elgondolás volt, mivel mind a négy alap 3D forma (kupola külső, kupola belső, tölcsér külső, tölcsér belső) esszenciája jelen van a felépítésében. Egy rövid ideig azt hittem, hogy a konvex (baloldali kép) és a konkáv (jobboldali kép) beállítások pontos komplementerek lesznek, következésképpen ez az alakzat is tesszalációs képességgel fog rendelkezni, azonban kiderült, hogy ez hamis feltételezés volt. Ennek ellenére a formának ígyis megvan az esztétikai értéke.

*********************************************************************************

Tangenciális kohézió

Körülírása

Összekapcsolt konvex és konkáv ívtriádok képezte vázon kifeszített, huszonnégy identikus hiperbolikus felület által alkotott, tetrahedrális szimmetriájú térkitöltő alakzat.

Olyan oldalak által közrezárt térrész, melyek két, egymással központban csatlakozó, a lehetséges legnagyobb görbülettel rendelkező, azonos tölcsérfelszín külső és belső részei közti szimmetrikus-folyamatos átmenetet képviselik.

*****************************************************************************

Az elképzelés

A nyeregfelületekkel való fordított viszonyon alapul. Miközben ezutóbbi főgörbéinek vektorai merőlegesek a függőleges tengelyekre, a keresett alakzat alkotói ezek érintői kell legyenek. Összetevői emígy bizonyos „fordított majomnyergeknek” tekinthetők, mivel a főgörbék mindkét esetben „S” formájúak, a köztük lévő lényegi különbséget a tengelyhez viszonyított antagonisztikus elhelyezésük adja. Az egyszerűség kedvéért, a két görbe általános dőlésének ábrázolására parabola szektorok helyett 90 fokos köríveket fogok használni az alábbi képen.

A majomnyereg egy a hiperbolikus paraboloidhoz hasonló hullámos felület, azonban ez nem kettes hanem hármas szimmetriával rendelkezik. Három „S” formájú főgörbéje (kék), valamint három egyenes szakasza (piros) van, miközben a struktúra többi részét az ezek közötti egyenletes átmenet teszi ki. Az origóban mindegyik radiális metszet vektorai merőlegesek a függőleges tengelyre.

Az alábbi ábra jobboldalán egy horn tórusz külső és belső felszíne (részlegesen) szimultán látható. Ha csak a felső féltekén lévő alkotókat vesszük figyelembe, beazonosíthatunk három centrumba konvergáló konvex ívet (zöld), melyek egy tölcsérbelsőre vagy „fekete lyukra” emlékeztető örvényszerű forgásfelszín részei. Ha meg csak az alsó féltekén lévő alkotókat vesszük számba, akkor ugyancsak három, de ezúttal a centrumból divergáló, valamint konkáv ívet találunk, melyek egy tölcsérkülsőhöz vagy tövishez hasonló forgásfelszín részei. Ahogy az nyilvánvalóan látszik: a kettő egymás ellentéte. Az „S” görbék itt az a+a-, b+b- és c+c- felezöld-felekék ívhullámok, melyek mind érintői a függőleges tengelynek.

Hogyan szerkeszthetnénk egy olyan formát, mely egyenletes átmenetet képezne ezen külső és belső tölcsérfelszínek között? Elméletileg, bizonyos értelemben a nyeregfelületek ellentétéről lenne szó, mivel ott a sima konvex (kupola külső) és sima konkáv (kupola belső) struktúrák „kereszteződése” valósul meg. Ez az „ambivalens tölcsér” lesz az alakzatunk alapmotívuma. Hagyjuk ennek a feladatnak a részleteit a későbbiekre és haladjunk tovább a nagyvonalakkal.

A másik prioritás az, hogy tetrahedrális szimmetriát nyerjünk úgy, hogy közben a konvex és konkáv összetevők között a legmagasabb fokú legyen a kontraszt (szakadékosság), ugyanakkor megőrizve a pontos fele-fele arányt is. Így már meglehetősen beszűkűl a lehetőségek tárháza és felvetődik a „legjobb megoldás” fogalma.

*****************************************************************************

Szerkesztés

1. A váz

Az előbb említett „legnagyobb kontraszt” vonatkozásában a korlátozó tényező a konkáv összetevők irányából jön, mivel a tetrahedrális felállítás négy tengelye nem engedi, hogy a görbület meghaladjon egy bizonyos mértéket. Elméletileg a konvex alkotók ennél sokkal nagyobb meghajlást tudnának produkálni, beleértve a sajátos esetet, mikor folytonosságot képeznének más oldalon lévő társaikkal.

Habár mindig a végleteket keresem, eleinte nem vettem észre a tengelyek menti konkáv alkotók és az ezeknek megfelelő konvex görbületek közti különleges kapcsolatot, mivel az utóbbiak látszólag nem érnek el konkrét határokat (kontinuitás vagy tangencia) ezeknél a szögeknél. Csak később tudatosult bennem, hogy ezek a pozitív kilengések is pontosan a tetrahedrális vázszerkezeten belüli lehetséges maximális elhajlást jelentik. Ennek folyományaként ez az alakzat is tesszalációs tulajdonsággal fog bírni, mint a korábbi cikkekben tárgyaltak.

Határozzuk most meg ezen ívek pontos mibenlétét. Röviden az adott rombdodekaéderes struktúra (élek és tengelyek) Bézier görbéi fogják őket megtestesíteni. Amúgy ez a keret pontosan egybeesik a kontrasztoid vázával, ezért a korábbi kompozíció derivátumának is tekinthető. Valójában mindkettő a tetrahedrális tércsempéző továbbfejlesztéséből származik, a köztük lévő lényegi különbség az, hogy amíg a kontrasztoid esetében a konvex és konkáv alkotók a kerettel egybeeső törtvonalakká módosultak, addig az új alakzat összetevői ezek egyenletesen lekerekített verzióját jelentik (lásd a fenti képen).

Ebben az értelemben a tangenciális kohézió alkotói átmenetet képeznek a tetrahedrális tércsempéző és a kontrasztoid összetevői között, nem csupán a térbeli elhelyezés tekintetében, hanem a közös tulajdonságok viszonylatában is: egyenletesek, mint a tetrahedrális tércsempéző egyenes szakaszai, de merőlegesen keresztezik az origót mint a kontrasztoid belső szegmensei.

Az elementáris tetrahedrális tércsempézőhöz hasonlítva a közös tulajdonság, hogy mindkettőnek egyenletesek a görbületei, az origó keresztezése viszont egészen más (vízszintes/ függőleges). Ugyanakkor az elhajlások ellentétes irányúak és jelentősebbek (109.47 fok/ 35.36 fok), vagyis a legnagyobb konvex ívek ott lesznek, ahol a másiknál a legnagyobb konkávok, míg a legnagyobb konkáv ívek ott, ahol a másik legnagyobb konvexei találhatóak.

Megjegyzés: Mindegyik tetrahedrális tértöltőnek a felszínén találhatóak a bizonyos O’ pontok, a középponttól fél-élhossz távolságra. Valójában az alakzatok között ennél sokkal több az egybeesés, ide sorolódik tíz csúcs (négy tetrahedrális, hat oktahedrális) melyeket tizenkét él és további tizenkét, sugaras triókat alkotó egyenes szakasz köt össze. Térfogataik is egyformák, mindegyiküké pontosan r^3.

2. A felületképzés

Térjünk most vissza az „örvény-egyesítéshez”. Úgy a külső, mint a belső tölcsérfelszínekből egymással az origóban törésmentesen kapcsolódó, szimmetrikus elrendezésű parabola ívtriádjaink vannak és ezek az alkotók lesznek az egyedüli összetevők, melyeket a szóban forgó forgásfelszínekből megtartunk. Az „S” formájú görbületek huszonnégy egyenlő részre osztják a vázat, ezek mindegyikét egy konvex, egy konkáv, valamint egy egyenes szektor határolja.

Felületképzés tekintetében a konvex és konkáv ívek közti egyenletes átmenetet az előbb említett három különböző szektor által határolt minimálfelületek fogják biztosítani.

Eképpen a konvex ív fokozatosan konkávvá alakul át, egy a belső, stabil végpontja körüli 60 fokos keringő mozgás folyamán, miközben a külső végpontja követni fogja a rombdodekaéder-keret élét. Majd a konkáv ív viceversa, vegül az adott ferde hatszögön belüli hatodik transzformáció után a kaleidociklus bezárul. Miután ugyanez a manőverkombináció lezajlik a tetrahedrális felállítás többi (három) ferde hatszögkeretében is az alakzat elkészült.

*****************************************************************************

Összefüggése síkbeli formákkal

Az elemi tetrahedrális tércsempéző leírásában megfogalmazott következtetésekből kiindulva a tangenciális kohézió 2D megfelelője egy bizonyos „torzított háromszög” kell legyen, mely egy a szabályos háromszöges tesszaláció módosításából létrejövő mozaikozást alkot.

Ezeknek a háromszögeknek az élei ugyanolyan módon térnek el az eredeti egyenes szakaszoktól, ahogy a tangenciális kohézió kaleidociklusai a ferde hatszögkeret által határolt minimálfelületekétől: mindkettő a lehetséges legnagyobb görbületet hozza létre a cellakeret (konvex alkotók), valamint a tengelyek (konkáv alkotók) által képezett határokon belül. A 2D forma esetében ez a keret egy szabályos hatszög, míg a 3D-s megfelelője esetében egy rombdodekaéder.

Mivel a síkbeli felállítás a hullámos háromszögek irányítását is feltételezi (óramutató járásával megyegyező vagy ellentétes), kijelenthetjük, hogy a szóban forgó térkitöltő alakzat valódi 2D megfelelője egyszerre mindkét irány. Ez könnyen reprezentálható egy átlátszó papír két oldalán.

Ha az ambivalens tölcsérek koncentrikus felépítését a majomnyergekéhez akarjuk hasonlítani, akkor az alábbi lineáris ábrázolással lenne kifejezhető a viszony esszenciája. Itt az „a” verzió fluid (piros) görbéi a nyeregfelületek jellegzetességeit, míg a „b” verzió csúcsíves (zöld) mintája (a váltakozó gerincek és sáncok 2D megfelelői) a tölcsérekét szemlélteti.

Végül, de nem utolsósorban az alakzat jelentése dióhéjban: „tangenciális”, mivel a konvex és konkáv alkotók a tengelyekre simulnak (vektoraik 0 fokos szögben találkoznak), valamint „kohézió”, mivel a jelentős szabdaltság folyományaként térfogat függvényében relatív nagy felülete van, emiatt erős a kötés a tesszaláció sejtjei között.

*****************************************************************************

Az elemi tetrahedrális tércsempéző

Körülírása

Négy hármas szimmetriájú nyeregfelület által alkotott tetrahedrális, térkitöltő poliéder.

***************************************************************************

Tervezése

Ezt az alakzatot, a kontrasztoidhoz hasonlóan szintén a huszonnégy lapú tetrahedrális forma továbbfejlesztéséből nyertem. Gyakorlatilag nem más, mint az említett tércsempézőnek a rombdodekaéderrel közös élei képezte négy „ferde hatszögkeret” által határolt minimálfelületek közti térrész. Dióhéjban úgy lehetne kifejezni az előbbihez való viszonyát, hogy a keret módosítása nélkül, a hatos kompozíciókat alkotó háromszögek összeolvadnak, hullámszerű folytonosságot képeznek. Konkrétan, úgynevezett „majomnyergek” jönnek így létre.

A fent említett két formával való szoros kapcsolata következtében térfogata ezekével megegyező, tehát pontosan r^3. Felületeik közti arány: 1.03075.

Megjegyzés: Mivel még mindig jelentős az asszimetria a szerényebb matek alapjaim és a velemszületett vizualizálási képességem között, az algebrai megközelítés ebben az esetben startból ki volt zárva. Szerencsére a 3D program egyik automatikus funkciója önmagában el tudta végezni a szükséges műveletet, lerövidítve a máskülönben jóval időigényesebb procedúrát, képzett matematikusok bevonásával.

***************************************************************************

Feltevés

Ahogy a rombdodekaéderek összeillesztésével létrehozott tértöltő struktúrát a szabályos hatszöges tesszaláció térbeli megfelelőjének tartják, az ezen alakzatok által létrehozott „térhálót” a síkbeli háromszöges tesszaláció háromdimenziós verziójának tekinthetjük. Ebből kifolyólag a forma jogosult az „elemi tetrahedrális tércsempéző” titulusra.

***************************************************************************

A megfeleltetések alap-összefüggései:

A feltevés bizonyítása

A két- és háromdimenziós mértani alakzatok között létezik egy bizonyos összefüggés, amit „megfelelési kapcsolatnak” nevezhetünk. Minél szabályosabb a forma, annál egyértelműbb ez a megfelelés. Így a körnek a gömb, a négyzetnek a kocka, az egyenlő oldalú háromszögnek meg a szabályos tetraéder a háromdimenziós partnere. Ugyanezt a szimpla logikát követve, a szabályos ötszög és a szabályos dodekaéder között sem nehéz észrevenni a rokonsági kapcsolatot.

Tudjuk viszont, hogy csupán öt fajta „plátói test” létezik, ezeket meg mindössze három fajta szabályos poligon építi fel. Mindhármat megemlítettük már, a megfelelési kapcsolatok legegyszerűbb formáit ezek szerint kiaknáztuk.

Lépjünk egyet előre a szabályos hexagonhoz. Kizárólag hatszöglapokból álló háromdimenziós mértani alakzat nem létezik. Más törvényszerűséget kell keresnünk, hogy megtaláljuk a térbeli megfelelőjét. Végülis nem is kell, mert már megtették ezt mások előttünk. A hexagonnak van egy olyan tulajdonsága, hogy önmaga ismétlésével képes egy síkot hézagok nélkül a végtelenbe terjeszteni. Ezt a tulajdonságot „tesszalációnak” hívják. A szabályos poligonok közül három bír ezzel a sajátossággal (egyenlő oldalú háromszög, négyzet és szabályos hatszög), ezek közül az utóbbinak a legkisebb a kerület/ felület aránya. A természetben több helyen is megfigyelhető ez a gazdaságos területhasznosító módozat, legismertebbek a méhek által épített struktúrák.

A hexagon tesszalációs képességéből kiindulva megállapították, hogy háromdimenziós partnere a rombikus dodekaéder kell legyen. Ez a katalán test olyan módon tölti a teret, ahogy a hatszög a síkot, térkihasználása tehát maximális. Tizenkét azonos rombusz építi fel, melyek akárcsak a hatszög élei, 120 fokos szögekben metszik egymást. Az élhosszúság és a sarkok középponttól való távolságának tekintetében is szoros kapcsolat van e két forma között, mivel ezek mindkét esetben pontosan egyformák. Ahogy a hatszög felosztható három azonos rombuszra, ugyanúgy a rombdodekaéder is felosztható négy identikus romboéderre.

Legtisztábban úgy lehet ezt elképzelni, hogy úgy a hatszöges mozaikozás parcellái, mint a rombdodekaéderes 3D konstrukció építőkockái közé új, azonos formájú és méretű, „interszekcionális” sejteket helyezünk el, melyek az eredetiek középpontjait (kölcsönösen) érintik. A hatszöges mintázat esetében a metszések rombuszos mozaikozáshoz, míg ennek térbeli megfelelőjének esetében romboéderes felosztáshoz fog vezetni.

A tesszaláció doméniumban maradva észrevehetjük, hogy létezik egy az előbb említettnél is jóval egyszerűbb megfelelési kapcsolat a négyzetes tapétázás és a kockás tércsempézés között. Kizárólag tetraéderek felhasználásával viszont már lehetetlen a teret hézagok nélkül kitölteni , így a „háromszöges tapétázás” térbeli megfelelője nem lehet egy szabályos tetraéderek által alkotott rendszer, ahogy azt a szimplista logika megkövetelné.

Tudtommal az egyetlen hivatalosan dokumentált, tetrahedrális szimmetrián alapuló 3D-s tesszalációs módozat a triakisz csonka tetrahedrális tércsempézés. Nevezhetjük-e ezt a háromszöges tapétázás térbeli megfelelőjének? Vagy létezne egy másik, ahol még több asszociációt találhatunk?

Ha a hatszöges és a háromszöges tesszalációk viszonyát vizsgáljuk, megállapíthatjuk, hogy az azonos méretű körbe írható, tapétázásban használt hatszögek és háromszögek pontosan 1:2 arányban állnak egymáshoz, vagyis kétszer annyi háromszögre lenne szükségünk, hogy ugyanazt a felületet lefedjük.

Ha egy hatszöget háromszöggé csonkítunk, a három levágott rész együttes felülete ugyanannyi lesz, mint a képződött háromszögé, formájuk meg azonos az ezt az egyenlő oldalú háromszöget középpontban három egyforma részre felosztó egyenlő szárú háromszögekével.

Térjünk vissza a rombikus dodekaéderhez és próbáljuk átvinni ezt a műveletet a harmadik dimenzióba. Észrevesszük, hogy csonkítással nem tudunk hasonló eredményt elérni. Végülis a katalán testet alkotó négy romboédert kéne két egyenlő részre osztani. Ez viszont kicsit komplexebb beavatkozást igényel.

Már közelebb állunk a helyes megoldáshoz, ha összekötjük az alakzat három ellentétes sarok-párját (leszámítva az egymáshoz közelebb található negyedik párost). A keletkezett három szakasz a forma középpontjában metszi egymást, páronként három választósíkot kialakítva. Ezzel a módszerrel épp a tetrahedrális tércsempézőhöz jutunk.

Viszont az antiprizmák szimmetrikus megfelezése megvalósítható egyetlen választófelülettel is. Ezt pedig a középvonalukon cikkcakkban húzódó „rézsútos hatszögek” (kék keret a fenti képen) által határolt minimálfelületek fogják lehetővé tenni. Ahogy a 2D-s tesszalációban minden egyenlő oldalú háromszöget három másik identikus forma vesz körül, három oldal egybeesésével, ennek 3D-s megfelelője esetében minden alakzatot négy azonos forma kell közrezárjon, négy azonos felület egybeesésével.

Az elemi tetrahedrális tércsempéző az egyetlen, mely ezt a feltételt maradéktalanul teljesíti.

***************************************************************************

A kontrasztoid

Körülírása

Rombdodekaéder vázszerkezetére épülő, 90 fokos hiperbolikus paraboloidokból álló, magasfokú szimmetriával rendelkező mértani kompozíció.

***************************************************************************

Megszerkesztése

A korábban felfedezett, ”tetrahedrális tércsempéző” nevű alakzat hatos, radiális kompozícióit módosítottam úgy, hogy miközben a keretek változást nem szenvednek, a konkáv alkotók (sáncvonalak) a centrumba dőljenek, ugyanakkor a konvexek (gerincek) meg duplán kiemelkedjenek.

Ez a kombinált manőver kétirányú hajlítást végez az egyenlőszárú háromszögeken (belső csúcsaikat elnyújtja), melynek következtében a „csillagpontokból” (a hatos struktúrák közepe) a forma élhosszúságával megegyező (fél)tengelyek válnak. Ezzel párhuzamosan az eredeti tetrahedrálisból oktahedrális szimmetria alakul ki.

Az ötlet kiindulópontja az volt, hogy a tesszalációs képesség megőrzése mellett, a pozitív és negatív alkotók közti kontrasztot próbáljam maximalizálni. Először ívek felhasználásával képzeltem ezt el, de közben rájöttem, hogy bizonyos törtvonalak nyújtják a legszakadékosabb lehetőséget, mikor is a konkáv alkotók egybeesnek a szimmetriatengelyekkel, töréspontjaik meg épp a forma középpontjába kerülnek. Az így létrejövő konstrukció valóban egy határeset lesz, mivel mind a négy tengely egész hosszán nulla vastagságúra keskenyedik el.

Az ezt követő gyakorlati lépés 90 fokos hiperbolikus paraboloidok megszerkesztésére irányult, mivel a vizualizálás folyamán megértettem, hogy ez lesz a háromszögek torzulásának a következménye (lásd a tetrahedrális tesszalátor szerkesztését is).

Az alábbi képen láthatjuk, ahogy az eredeti poliéder O’ pontja a nyeregfelület-együttes D’O szakaszává (féltengely) alakul át.

Mivel befele épp annyit vettünk el, amennyit kifele hozzáadtunk, a kontrasztoid térfogata azonos az elődjéjével, tehát szintén a rombikus dodekaéder fele (érdekes módon ez pontosan r^3), ugyanakkor mind a huszonnégy éle egybeesik az említett katalán testével.

***************************************************************************

Tulajdonságai

Huszonnégy görbült lapja, huszonnyolc éle (huszonnégy külső, négy belső) és tizennégy csúcsa van. A hiperbolikus paraboloidok négy széle közül kettő a rombuszok élein, míg a másik kettő a tengelyek mentén fekszik. A nyeregfelületek az alakzat középpontjában találkoznak, mindegyikük a konvex alkotója egyik végpontjával érintve a centrumot. A konvex alkotók másik végei a rombdodekaéder-keret négyes éltalálkozásaiban találhatóak. A konkáv alkotók mindkét végpontja a keret hármas éltalálkozásaiban van.

A forma négy tengelyén, mindkét oldalon kaleidociklus-szerű hatos csoportokat alkotnak a görbült felületek (nyolc), miközben mindegyikük szimultán két tengelyhez tartozik. A négyes éltalálkozásokat osztó hiperbolikus paraboloidok zárt térrészeket képeznek. Ezek az alakzatok tesszalációs képességgel bírnak, vagyis felületeikkel egymásra fektetve teljesen kitöltik a három dimenziós teret.

A kontrasztoid hat darab ilyen, éleikben érintkező „tércsempe” együtteseként is értelmezhető. A tércsempék között lévő hézagok formája pontosan ezek negatív lenyomata, így a rombuszok mentén egymásra fektetett alakzatok alkotta struktúra olyan térláncot képez, ahol az említett csempék fele-fele arányban váltakoznak csempe hiányokkal.

A nyeregfelületek négy különböző módon találkoznak egymással:

1. Két élben: Ennek két típusa létezik: konvex és konkáv találkozás. Első esetben a felületek konvex alkotóinak egy-egy vége esik egybe a forma középpontjában, 0 (nulla) fokos vektorokat alkotva egymással. Második esetben a felületek konkáv alkotóinak végpontjai esnek egybe a forma nyolc csúcsában (a hármas éltalálkozásokban), 360 fokos vektorokat képezve egymással.

2. Egy élben: Ennek két változata létezik, melyek közül az egyik esetben a szomszédos hiperbolikus paraboloidok felszínén egyetlen közös egyenest találunk.

3. Két csúcsban: A konvex alkotók végpontjai közösek, ezek a középpontban, illetve a csúcsokban (a négyes éltalálkozásokban) érintkeznek.

4. Egy csúcsban: Ennek három változata létezik. Minden esetben a konvex alkotók egyik végpontja közös (a középpontban). Egyik esetben a két alkotó egy törésmentes görbületet alkot, másik esetben ezek külső végpontjai polárisan helyezkednek el a négyes csúcsokon, míg harmadik esetben a lapok a hármas csúcsok közötti tengelyek két ellentétes oldalán helyezkednek el.

***************************************************************************

Összefüggése 2D formákkal

A rombdodekaéder és a hatszög közti „dimenziós megfeleltetésből” kiindulva a kontrasztoid 2D-s párja a váltakozó háromszöges tesszaláció egyik felének valamely radiális triádja, ahogy az alábbi ábrán a sötétebb szektorban láthatjuk (bordó és olívzöld).

Ahogy a hatszög felülete is duplája az őt felépítő háromszög trióknak, a rombikus dodekaéder térfogata is pontosan kétszer akkora, mint a kontrasztoidnak, a hiányrészek formája pedig megegyezik az alakzatot felépítő hat tércsempe formájával. Konkrétan tizenkét fél-tércsempe hiányról van szó, ezeket páronként egymásra fektetve kapjuk meg a kompozíció hat cellájának negatív lenyomatát. A hatszög három átlójának 3D-s megfelelője a rombdodekaéder négy tengelye.

A kontrasztoid rendkívül komplex szimmetriával rendelkezik. Úgy a teljes kompozíciónak, mint részelemeinek (hiperbolikus paraboloidok, kaleidociklusok, tércsempék) is számos szimmetriasíkja van. A direkt tükrözés mellett, hatvan, illetve kilencven fokos elfordítások eredményezik a mintaismétlődéseket.

Feltevésem, hogy a legmagasabb fokú formai komplementaritást képező struktúra.

Nevének jelentése „ellentét-forma”, ami a felszínén szimultán jelenlévő konvex és konkáv végleteket (tangenseket) képező parabolák harmonikus összefonódására utal.

****************************************************************************

A tetrahedrális tércsempéző

Osztályozásom szerint ez az első „archetipálisnak” nevezhető forma, ami röviden annyit jelent, hogy egy olyan befejezettségi állapotot testesít meg, ami valamely jól körülírható egyediségben tükröződik.

Ugyanakkor egy „anomáliának” is tekinthető, mivel minden eddigi tervezésem kizárólag görbült felszínekből épült fel, ez meg csak sík lapokból áll. Nem csoda, hogy felfedezését a véletlennek köszönhettem, miközben a négyes szintű kontinuitás kiterjesztésen dolgoztam.

********************************************************************************

Általánosságok

Tetrahedrális szimmetriájú, csillagszerű, „tércsempéző” (három dimenziós tesszalátor) mértani test. Huszonnégy egyenlő szárú háromszög alkotja, melyek négy hatos kompozíciót képeznek, három konvex és három konkáv (sánc) radiális éllel. Tíz csúcsa (négy hármas éltalálkozás, hat négyes éltalálkozás) és harminchat éle (huszonnégy konvex és tizenkét konkáv) van. A hatos kompozíciók mindegyike három koplanáris háromszögpárból áll, a párokat alkotó egyedek csúcsokban érintkezve egymással.

********************************************************************************

Megalkotása

1. Az eredeti metódus: Megkerestem egy szabályos tetraéder négy szimmetria tengelyén (csúcsokat a lapközepekkel összekötő egyenesek) azt a négy pontot, amelyek azonos távolságra vannak úgy a hozzájuk tartozó lapok sarkaitól, mint a középpontból kiinduló, az élek felezőpontjain keresztülhaladó egyenesek valamely pontjától (E az alábbi képen). Az ABC háromszög esetében ez a pont az O’.

Kiderült, hogy az elképzelésem csak egyetlen módon lehetséges, mégpedig úgy, ha ezek a bizonyos pontok az említett, a centrumot és az élfelezőket összekötő egyenesek, középponttól számított sqrt(2)/2 távolságaira kerülnek (ha az élek hossza 1 egység). Ahogy a tetraéder sarkainak középponttól való távolsága, a „sqrt(3/8)”, a tetraéder éleire mért 109.47 fokos körív tetőpontjának a centrumtól való távolságával egyenlő, rájöttem, hogy ezen új pontok középponttól való távolsága, a „sqrt(2)/ 2”, a tetraéder éleire mért 141.057 fokos körív ( 2*(180-109.47) ) tetőpontjának centrumtól való távolságával megegyező.

A hat pontot külön-külön összekötve a tetraéder összes csúcsával egy huszonnégy egyenlőszárú háromszögből álló struktúrát kapunk.

A fenti képen a tetraéder köré írható gömb sugara jelenti az 1 egységet, ennek függvényében az oldalak 2*sqrt(2/3), hozzávetőlegesen 1.633 méretűek. A jobboldali ábrán az E, F, G pontok által képezett sík hozzánk közelebb, az ABC háromszög tőlünk távolabb, míg az O’ köztük félúton található.

2. Tetraéderből kiindulva: Egy szabályos tetraéder lapjaiból szimultán négy darab, a tetraéder magasságával megegyező prizmát szerkesztünk. A négy prizma által meghatározott hat kettős metszet (ez magában foglalja a központi négyes metszetet is) együttese adja ki az alakzatunkat.

3. Rombdodekaéderből leszármaztatva: Az említett katalán test nyolc darab, három él találkozása által képezett sarkai közül négyet (a két tetrahedrális kompozíció közül egyiket) a forma középpontja irányába süllyesztünk olyan mértékben, hogy ezek pontosan kétszer közelebb kerüljenek a centrumhoz. Ez a legkönnyebben elképzelhető módszer, ugyanakkor a két poliéder közti szoros kapcsolatról is árulkodik (részletek az utolsó alcímnél).

A manőver következménye a sarkok eltűnése lesz, mivel az új pontok az eredeti helyükön hagyott négy „hármas sarok” és a hat „négyes sarok” által meghatározott egyenesekre kerülnek, mégpedig ezeknek felezőpontjaira (az eredeti metódusban meghatározott kiindulópont). A létrejött tizenkét egyenes négy hármas metszetet alkot, ezek osztják fel az alakzatot huszonnyégy identikus, egyenlő szárú háromszögre.

********************************************************************************

Képletek

Felülete: S=12*sqrt(2)/ sqrt(3)*a^, kb 9.7979*a^

Térfogata: V=8/ 3*sqrt(3)*a^3, kb 1.5396*a^3

Felülete a köréje írt gömb függvényében: S=9*sqrt(2)/ sqrt(3)

Térfogata a köréje írt gömb függvényében: V=r^3

V-gömb/ V-TetrTcs=4/3*PI, kb 4.18878

S-gömb/ S-TetrTcs=4*sqrt(3)/ 9*sqrt(2)*PI, kb 1.71006

(V-gömb/ V-TetrTcs)/ (S-gömb/ S-TetrTcs)=sqrt(6)

S-TetrTcs/ V-TetrTcs=9/ sqrt (2), kb 6.3639

Egyik háromszöge: A=1; B, C=sqrt(11)/ sqrt(12), kb 0.9574; alfa-szög: 62.965 fok, beta-szög, gamma-szög: 58.518 fok; S=sqrt(2)/ 2*sqrt(3)*a^

*******************************************************************************

A tesszaláció

Három alakzat összeillesztése során, az első és a harmadik mértani test két háromszöge koplanáris lesz és rombuszt fog alkotni, melynek jellemzői:

a=sqrt (11)/ sqrt (12); D=2 *sqrt(2)/ sqrt (3); d=1; D/ d=2*sqrt(2)/ sqrt(3), kb 1.633, ugyanaz, mint egy szabályos tetraéder oldalhosszúsága meg a köré írt gömb sugarának az aránya: 1/ 0.6123; A, C (hegyes) szögek: 62.964 fok; B, D (tompa) szögek: 117.036 fok; S=sqrt (2)/ sqrt (3)*a^; két szomszédos rombusz által alkotott szög: 146.443 fok.

Habár hasonlóak, ezek a rombuszok nem azonosak a rombdodekaédert felépítő változattal. Kissé keskenyebbek, így egyforma kisátlók esetében a nagyátlók közti arány 2/sqrt(3), ugyanaz a viszony, ami az egyenlő oldalú háromszög oldalai és magassága között áll fent.

Minden csúcs tíz alakzat között oszlik meg (hat négyes sarokkal és négy hármas sarokkal érintkezik). Minden él hat alakzat között oszlik meg. Ha ez függőleges, akkor három talpon álló és három fejére állított alakzat közös éle, mely a hatos kompozíció forgástengelyén található. Mindegyik alakzatot négy másik határolja. Ha a központi „talpon álló”, akkor az őt körülvevő négy „fejére állított” és vice versa. Vagyis mindegyik alakzat csak a hozzá képest fordítottan pozicionálthoz csatlakozhat, a rétegek sakktábla-szerű, térbeli mintázatot alkotva. Ez jól szemléltethető, ha két színt használunk a tércsempézéshez.

A tesszalációban tizenkét nempárhuzamos síkcsoportot különböztethetünk meg, ezekhez tartozó lapokat minden alakzaton egy-egy háromszögpár formájában találunk. A csúcsokban érintkező két háromszög egy „homokóra” formát alkot. Egy alakzat tizenkét homokórából épül fel. Minden síkhoz rombuszokból álló mintázat tartozik. Az azonos síkhoz tartozó, egymással párhuzamos rombuszsorok közti távolság pontosan 4a, vagyis a rombuszok kis átlóinak négyszerese. Következésképpen, két azonos tájolású, egymást függőleges soron követő alakzat középpontjai közti távolság szintén 4a.

Ha egy „emeletet” veszünk alapul, megállapíthatjuk, hogy az alakzatok normál és fordított pozíciókban váltakozva, cikkcakk irányvonalon csatlakoznak egymáshoz. A középpontjaik összekapcsolásával 120 fokos szögeket képező szakaszsorozatot nyerünk.

Ez a tesszaláció egy végtelen oldalhosszúságú szabályos tetraéder felé tart, az alakzatok a „négyzetes piramisszámokat” követve építik fel a folyamatosan növekvő tetrahedrális struktúrákat (1, 5, 14, 30, 55, 91…), így pl egy négy emelet magas struktúra harminc darab alakzatból áll.

********************************************************************************

Összefüggések szabályos mértani testekkel

A hármas csúcsokat a középponttal összekötve a forma négy egyenlő részre bontható, melyeket ha külső felükkel egy másik, azonos méretű alakzat felületére illesztünk, kívülre került belső feleik egy szabályos rombdodekaédert fognak alkotni.

Ezt a sajátosságot megtaláljuk a kockánál is, ahol ezt a hat részre bontással érjük el. A lényeges különbség a két forma között ebben a kontextusban az, hogy a kocka, a rombdodekaéder és a rombdodekaéder-csillag (mindhárom tércsempéző) egy három lépéses ciklikus folyamatban egymásból megalkothatóak (az említett szétbontás-ráfordítás metódussal). Eképpen a kockából rombdodekaáder, a rombdodekaéderből rombdodekaéder-csillag, a rombdodekaéder-csillagból meg kocka szerkeszthető (és így tovább). Ebben a „fraktálsorozatban” az azonos formák oldalhosszúsága folyamatosan duplázódik, térfogataik meg nyolcszorosodnak.

A tetrahedrális tércsempézőből elindítható a procedúra, de visszatérni már nem lehet hozzá. Formánk viszont megalkotható egy bizonyos fajta triakisz-tetraéder „csillagosításával”. Ez a triakisz-tetraéder pedig nem más, mint az alakzat megalkotásánál említett négy darab, tetrahedrális kompozíciót képező prizma belső (négyes) metszete. Megemlíthető még, hogy ha egy kockába úgy helyezünk bele egy tetrahedrális tércsempézőt, hogy a hat külső pontja ennek lapközepeit érinti, akkor a térfogata pontosan nyolcad része lesz a kockáénak.

Ezen forma továbbgondolása két másik érdekes alakzat felfedezéséhez vezetett: a kontrasztoid és az elemi tetrahedrális tércsempéző .

********************************************************************************

A tetrahedrális centrum-kontinuitás nyomában

Tervezéseim jelentős hányadát egy hipotetikus struktúra tökéletesítésének szenteltem, ami dióhéjban úgy foglalható össze, mint egy olyan tetrahedrális szimmetriájú alakzat, amelynek középpontja a felszínén található, miközben a lehető legmagasabb szintű felületi folyamatosság valósúl meg ezen a ponton keresztül.

A hosszan tartó „dinasztia” első és egyben legegyszerűbb képviselőjét négy gömb sajátos metszése hozza létre, ezáltal szoros rokonságban áll az első két 3D alkotásommal (lásd az előbbi részt).

Az új formát a fent említett műveletből származó hat dupla metszet együttese (beleértve a triplákat is) jelenti, ahol a négy gömböt olyan módon közelítjük egymáshoz, hogy egyetlen közös pontjuk legyen. Valójában ez egy másik, hatodkörívek által alkotott síkminta térbeli megfelelőjének tekinthető, amelyet három kör egy pontban való találkozása hoz létre.

A fenti kép jobbszélén beazonosíthatunk egy „kontinuitást” a függőleges, centrális vonal képében (valójában körív), amit egyik lebeny részlegesen takar. Hat ilyen, egymást középpontban metsző ív található az alakzat felületén. Azt hihetnénk, hogy ezek is szextánsok, az igazság viszont az, hogy valahol 1/5 és 1/6 között vannak.

Az első asszociációt megőrizve, a következő lépés további folyamatosságok elérésére irányult. Két módozat van rá, hogy meghaladjuk az eredeti felállást: egyik, hogy koncentrikus folytonosságot képezzünk a „hármas szirmokban”, a másik meg, hogy egyenletességet hozzunk létre az éltalálkozásokban.

A „koncentrikus típus” esetében négy tölcsér fogja felváltani a szirom-triókat, miközben az alkotók forgásfelületeket hoznak létre, a „csúcs típus” esetében pedig a hármaspontokban, az érintő síkhoz képest 0 (nulla) fokos vektor-konvergencia valósul meg, mivel ott a hat él egy gömbfelület tartozéka (109.47 fokos körívek).

Az ezt követő továbblépést a koncentrikus típus alkotóinak olyan jellegű módosítása jelentette, aminek folyományaként az eredeti forma külső szektorai eltűntek, konkrétan egyetlen pontba redukálódtak. A centrális folytonosság természetesen megmaradt (alábbi kép).

Ezen konstrukció továbbfejlesztéséből két, az előbbinél is magasabb fokú összkoherenciát képező másik született meg: az első esetében új folytonosságok jelentek meg az élek felezőpontjain keresztül, míg a második esetében a sarkok eltűntek az összefutó, nulla fokos vektorok képezte egyenletesség következtében. Elméletileg ezutóbbi az „első fokú csúcs típus” evolválásának is tekinthető.

Miközben különböznek, az elődjükhöz hasonlóan mindkettő négy egymást metsző forgásfelületből épül fel, ahol a görbületek közti eltérések adják a szpecifikus tulajdonságjavulásokat. Az elsőnél továbbra is diszkontinuitások vannak jelen a csúcsokban (árkok), míg a második esetében nem tompultak az élek. Egyik erőssége a másik gyengéje és fordítva.

A „végső szintet” egy olyan alakzat jelentette, amelyik az előbbi kettő előnyeit sikeresen keresztezte, míg domináns hiányosságaikat meg kiküszöbölte a felépítéséből. A dilemmát „redőzött tölcsérek” megalkotásával hidaltam át, amit hármas szimmetriájú, hullámszerű keringési pályát leíró alkotók képeztek meg, emígy megőrizve úgy a koncentrikus, mint a csúcsbeli folytonosságokat.

Ennek ellenére a forma mégsem tekinthető befejezettnek, avagy „archetipálisnak”, mivel az élek csupán elhalványodtak, nem tűntek el teljesen. Ugyanakkor valószínűleg az eredeti idea lehetséges legjobb gyakorlati megközelítése.

Valójában már jóideje gyanítottam, hogy az általam intuitívan keresett végcél egy már létező alakzat, melynek neve Steiner római felülete. Ez a szabályos trifólium térbeli leképződésének tekinthető és sok strukturális hasonlóságot mutat saját alkotásaimmal, kivéve, hogy önmetsző.

Amit én próbáltam az volt, hogy hasonló, teljes felületi folytonosságot érjek el ezen önmetsző tulajdonság kizárásával, ami végül lehetetlennek bizonyult. A realitás talaján maradva, „lehetséges maximum”-nak nevezhetjük a négyes szint eredményét ebben a kontextusban.

*********************************************************************************

Említésre méltóak

Létezik néhány, főként esztétikai szempontból figyelemre méltó másodlagos produktum, melyek felépítése JinJang-szerű komplementaritást tükröz.

Ezek közül kettő az élkeresztező/ koncentrikus 3-as szintű alakzat egyszerűsítéséből származik: egyiket ennek egyharmadának, a másikat pedig kétharmadának nevezhetjük. Az első egyféle „pszeudo hiperbolikus paraboloid„, a másik inkább az Enneper minimálfelületre vagy a cross-cap-re emlékeztető, beállításától függően.

Ennek ellenére, az említett háromtól eltérően, az általam megalkotott formák különböző forgásfelületek összeillesztéséből jöttek létre, így nem tekinthetőek valódi folyamatos struktúráknak.

Ahogy várható, két 1/3-as metszéséből egy 2/3-ast nyerünk (hasonlítsd össze a felső sor első két képét az alsó sor jobboldalijával). Mindkettő konvex szektorai a hármas szintű alakzat tölcséreinek külső felületének, konkáv tartományai pedig ezen tölcsérek belső felületének bizonyos részegységeiből származnak.

Az egyharmad főmetszete egy quadrifolium, ahogy azt az alábbi kép mutatja. Mellette jobboldalt egy szimmetrikusan pozicionált dupla alakzat látható (tehát hatszorosa), melynek középpontja, meglepő módon még mindig a felületén található (tizenkét irányból megközelíthető).

Egy másik elképzelésemet az előbbi 1/3-as inspirálta, ahol a csúcsíveket képező görbületek olyan módon változnak meg, melynek folyományaként teljes tangenciát (180 fokos vektor találkozást) alkotnak egymással, ami egy kétirányból szimultán összehajtott tórusz-szerű kinézetet eredményez. A köztük lévő szoros kapcsolatot leginkább a főmetszeteikre tekintve láthatjuk át.

Miközben az alkotók itt Bernoulli-lemniszkáta felek, ez a forma sem haladja meg a pszeudo-homogén állapotot, ugyanazt a négyes felosztást (ezúttal 180 fokos szegmensek képében) mutatva fel, mint az előbbi kettő.

Abban a periódusban, mikor elkezdtem kísérletezni a hullámos forgásfelületek képzésével, mely sajátos manőver végül a négyes szintű kontinuitás-kiterjesztés megalkotásához vezetett, előzetesen néhány másik modellt is terveztem.

Az alábbi képen látható első alakzat két, a második négy, míg a harmadik nyolc „hullám-felület” metszéséből jött létre.

Miközben az elsőt teljes fluiditás jellemzi, hiányzik belőle a tetrahedrális felépítés, a második már tetrahedrális, viszont a konkáv találkozásokban nem képez folyamatosságot (vagy tangenciát), míg a harmadik, hat lemniszkáta által alkotott vázra épülő, oktahedrális struktúra nemigen prezentál semmiféle komplementaritás effektust, mivel itt a konvex szektorok elfedték a konkávokat (ez részben az elsőre is érvényes).

Mindanozáltal egész harmonikus kompozíciók.

*********************************************************************************

A kezdetek

A mértan területén kifejtett alkotó tevékenységem konkrét kiindulópontját a hatodkörívek (szextánsok) különleges tulajdonságainak intuitív felfedezése jelentette. Sokkal inkább esztétikai szükséglet, mint tudásszomj volt ennek a pszichológiai mozgatórugója. Észrevettem, hogy ez a szimpla forma egyféle alap-összetevő, amiből különböző, megkapóan harmonikus struktúrát lehet a síkban képezni.

Egyáltalán nem túlzás a megszállottság kifejezést használni arra az intenzív pozitív érzésre, ami folyamatosan motivált, egyfelől, hogy gyakorlati szinten kisérletezzek ezzel az „absztrakt sejttel”, másfelől meg, hogy metafizikai szinten is elmélyedjek.

Az általam elsődlegesen beazonosított kompozíciók az egyenlő oldalú háromszögek vázára épülő ív triádok voltak, amiből négy típus létezik: három konkáv, három konvex, két konvex és egy konkáv, egy konvex és két konkáv. Az alapháromszöggel való viszonyukból kiindulva ezeket „-3, +3, +1 és -1” névre kereszteltem, utalva a megkülönböztetésért felelős, kapcsolódó körszegmensek tájolására.

Három, egymást érintő (tangens) kör közötti hézag jelenti az első esetet (-3), a második és harmadik lehetőséget ugyancsak három, de ezúttal egymás középpontjait érintő körök közös halmazai biztosítják, ahol a központi hármas metszet a +3-as, a kettős metszetek pedig a +1-esek, végül a negyedik esetet két tangens kör, valamint a közéjük helyezett, az előbbiek középpontjait szimultán érintő, centrális harmadik jelentik, ahol a -1-esek a központi kör metszésből kimaradó szegmensei. A görbe oldalú háromszögeket szimmetrikusan összeillesztve nagyon szép mintákat kapunk, melyek a legkifejezőbbek, ha komplementer színeket használunk, sakktáblaszerűen.

Megjegyzés: csak utólag hallottam a híres Élet virága mintázatról, felismerve, hogy ugyanazok az egységek építik fel, mint az általam generált kompozíciókat.

A fenti JinJang-szerű konstrukciót hat fehér és hat fekete +3-as és -3-as, vagy hat +1-es és -1-es építi fel, attól függően, hogy az egyes háromszög oldalak kétoldalán húzódó ívek melyik felét tekinted határvonalnak. Mivel a konvex és konkáv görbék összege egyforma bármelyiket is választanád, úgy a fehér, mint a fekete szektorok felülete is ugyanakkora, mintha egyenlő oldalú háromszögeket vagy rombuszokat használtunk volna a tapétázáshoz.

****************************************************************************

Habár direkt módon nem kapcsolódik ide, megemlíteném egy kisléptékű, viszont személyes tekintetben jelentős eredményre jutásomat: ez a „legtökéletlenebb háromszög” fogalma. Az elgondolás magva az egyenlő oldalú háromszöggel való fordított viszony, utóbbit tekintve a „legtökéletesebbnek” a kategóriában. Mivel ott mindegyik oldal egyenlő, az ezzel ellentétes esetben ezek a legkevésbé egyformák kéne legyenek. A háromszög oldalai közti viszonyt három arány határozza meg: a/b, b/c és a/c. Ahhoz, hogy a legegyenlőtlenebb komplexumot kapjuk, az ezen három viszony közötti legkiegyensúlyozottabb is a lehető legtávolabb kéne maradjon az egyformaságtól.

A talányra az a/b=b/c; a=b+c kettős összefüggés adta meg a választ, ami egy ismert másodfokú egyenlethez vezetett, 1.618003…-as megoldással. Ez pedig nem más, mint (meglepetés!) az aranymetszés. Az így létrejött „legkevésbé szabályos háromszög” valójában egy egyenes szakasszá lapult ki, ahol két csúcs a végpontokban, míg a harmadik ezek között, egyikhez 1.618033…-szor közelebb található.

***************************************************************************

Idővel szó szerint „szintet léptem” és immár a harmadik dimenzióban kezdtem kutakodni, első célként a hatodkörív térbeli megfelelőjének a beazonosítását tűzve ki. Kissé kiábrándító volt rájönni, hogy ilyen dolog nem létezik, mivel egy gömbfelület konvex és konkáv részegységeit nem lehet a 2D-s tapétázáshoz hasonló komplementer módon összeillesztgetni. Azért továbbra is törtem a fejem, válaszokat kerestem.

Első kiagyalásom a kifejezően „gömbök közti tér” névre keresztelt struktúra volt, ami konkrétan nem más, mint négy tangens gömb közötti anyaghiány, hézag. Mivel ez nem egy teljesen zárt űrrész, megállapítotam, hogy parciálisan „mesterséges módon” kell leválasztani az összefüggő térhálóból, ennek helyes módozata pedig az lenne, hogy a szűkületeknél vonom meg a határokat.

Akkoriban még azt hittem, hogy egy szorosan csomagolt gömbhalmaz egyedei között kizárólag ilyen tetrahedrális hézagok képezik a közöket, csak később értettem meg, hogy kétféle űrrész (a másik az oktahedrális) sajátos váltakozása adja ki a teljes képet. Valójában ugyanaz a tévedés, mint annak a feltételezése, hogy csupán szabályos tetraéderekkel maradéktalanul ki lehet tölteni a háromdimenziós teret (ide értve Arisztotelészt is). Ez így nem lehetséges, miközben egy bizonyos tetraéder-oktaéder kombinációval már igen.

A régebbi 2D összefüggéseket követve a második (komplementer) ötletterv kiindulópontja az volt, hogy négy gömb olyan módon metssze egymást, aminek folyományaként mindegyik érinti a többiek középpontjait. Eképpen a centrális, a négyes metszet által határolt közös halmaz egy gömbszerű tetraéder lesz. A tetrahedrális hézaggal ellentétben, amit teljes mértékben nem lehet a háromszöghézagok 3D-s leképzésének tekinteni, ez a tetraéder, melyet kizárólag görbült, konvex felületek határolnak, pontosan a Reuleaux háromszög térbeli megfelelője.

Néhány év múlva első ízben hallottam a 3D nyomtatási technológiáról és a virtuális dizájnerek, valamint fogtechnikusok segítségével hamarosan kezemben tarthattam a konkrét tárgyakat is. Következésképpen méginkább bevontam magam az érdekes alakzatok tervezésébe.

****************************************************************************

A projektről

Üdv!

Gyerekkorom óta erős hatást gyakoroltak rám a mértani alakzatok, úgy a belőlük sugárzó szimpla esztétika, mint az elemek közötti komplex összefüggések okán. A szimmetria, az arányok, a komplementaritás és a koherencia képezik az általános formai szépség alapjait. Számomra a geometria egyféle „tömörített tudás” abban az értelemben, hogy gyakran spontán megértésekhez vezet, melyek néha egészen mély, sajátosan kielégítő megélésekkel egészülnek ki. Tudatosan kerülöm a mainstream ”szakrális” és ”spirituális” kifejezéseket abból a megfontolásból, hogy ne keverjék össze a munkásságom az áltudományos kategóriával.

A blog célja, hogy megossza és megfelelően körülírja az általam felfedezett, érdekes tulajdonságokkal rendelkező mértani alakzatokat és kompozíciókat. Az „archetipálisnak”, avagy befejezettnek vélt formákhoz részletesebb leírások fognak tartozni, míg mások csak vázlatosabban lesznek megemlítve. Habár nem vagyok matematikus, mivel a pontosság itt alap, a prezentációk túlnyomóan technikai vonzatúak lesznek, csak néha feltűnő személyesebb kiegészítésekkel, mint egyes elnevezések és következtetések. Összességében a cél a tudomány és a művészet szerves ötvözése, ahol miközben ezek külön-külön is értékelhetőek, ugyanakkor egymással szimbiotikus konglomerátumot is képeznek.

A 3D nyomtatási technológia fejlődésével és globális elterjedésével a „matematikai művészet” nevű feltörekvő, új doménium egyre nagyobb népszerűségnek örvend. Intuítív, fantáziavezérelt alkatként sosem indulok ki száraz algebrai képletekből, függvényekből. Általánosságként az alkotások egyszerűsített folyamata egy homályosan körvonalazott ötletet adó, bevillanásszerű észleléssel kezdődik, ezt egy gyakran hosszadalmas racionális intervallum követi, aminek folytán meghatározom a pontos összefüggéseket, majd lineáris logikai lépésekkel ezeket elérem és összehangolom, végül ezen utóbbiak, a 3D modellezés útmutatását szolgáló konkrét manőverekre való „lefordításával” záródik.

A nevem Orbán Sebestyén Zsombor (Zéró), erdélyi szabadgondolkodó és független kutató vagyok, ez pedig a második blogom, amit a The Exiled Weatherman előzött meg.