Az elemi tetrahedrális tércsempéző

Körülírása

Négy hármas szimmetriájú nyeregfelület által alkotott tetrahedrális, térkitöltő poliéder.

***************************************************************************

Tervezése

Ezt az alakzatot, a kontrasztoidhoz hasonlóan szintén a huszonnégy lapú tetrahedrális forma továbbfejlesztéséből nyertem. Gyakorlatilag nem más, mint az említett tércsempézőnek a rombdodekaéderrel közös élei képezte négy „ferde hatszögkeret” által határolt minimálfelületek közti térrész. Dióhéjban úgy lehetne kifejezni az előbbihez való viszonyát, hogy a keret módosítása nélkül, a hatos kompozíciókat alkotó háromszögek összeolvadnak, hullámszerű folytonosságot képeznek. Konkrétan, úgynevezett „majomnyergek” jönnek így létre.

A fent említett két formával való szoros kapcsolata következtében térfogata ezekével megegyező, tehát pontosan r^3. Felületeik közti arány: 1.03075.

Megjegyzés: Mivel még mindig jelentős az asszimetria a szerényebb matek alapjaim és a velemszületett vizualizálási képességem között, az algebrai megközelítés ebben az esetben startból ki volt zárva. Szerencsére a 3D program egyik automatikus funkciója önmagában el tudta végezni a szükséges műveletet, lerövidítve a máskülönben jóval időigényesebb procedúrát, képzett matematikusok bevonásával.

***************************************************************************

Feltevés

Ahogy a rombdodekaéderek összeillesztésével létrehozott tértöltő struktúrát a szabályos hatszöges tesszaláció térbeli megfelelőjének tartják, az ezen alakzatok által létrehozott „térhálót” a síkbeli háromszöges tesszaláció háromdimenziós verziójának tekinthetjük. Ebből kifolyólag a forma jogosult az „elemi tetrahedrális tércsempéző” titulusra.

***************************************************************************

A megfeleltetések alap-összefüggései:

A feltevés bizonyítása

A két- és háromdimenziós mértani alakzatok között létezik egy bizonyos összefüggés, amit „megfelelési kapcsolatnak” nevezhetünk. Minél szabályosabb a forma, annál egyértelműbb ez a megfelelés. Így a körnek a gömb, a négyzetnek a kocka, az egyenlő oldalú háromszögnek meg a szabályos tetraéder a háromdimenziós partnere. Ugyanezt a szimpla logikát követve, a szabályos ötszög és a szabályos dodekaéder között sem nehéz észrevenni a rokonsági kapcsolatot.

Tudjuk viszont, hogy csupán öt fajta „plátói test” létezik, ezeket meg mindössze három fajta szabályos poligon építi fel. Mindhármat megemlítettük már, a megfelelési kapcsolatok legegyszerűbb formáit ezek szerint kiaknáztuk.

Lépjünk egyet előre a szabályos hexagonhoz. Kizárólag hatszöglapokból álló háromdimenziós mértani alakzat nem létezik. Más törvényszerűséget kell keresnünk, hogy megtaláljuk a térbeli megfelelőjét. Végülis nem is kell, mert már megtették ezt mások előttünk. A hexagonnak van egy olyan tulajdonsága, hogy önmaga ismétlésével képes egy síkot hézagok nélkül a végtelenbe terjeszteni. Ezt a tulajdonságot „tesszalációnak” hívják. A szabályos poligonok közül három bír ezzel a sajátossággal (egyenlő oldalú háromszög, négyzet és szabályos hatszög), ezek közül az utóbbinak a legkisebb a kerület/ felület aránya. A természetben több helyen is megfigyelhető ez a gazdaságos területhasznosító módozat, legismertebbek a méhek által épített struktúrák.

A hexagon tesszalációs képességéből kiindulva megállapították, hogy háromdimenziós partnere a rombikus dodekaéder kell legyen. Ez a katalán test olyan módon tölti a teret, ahogy a hatszög a síkot, térkihasználása tehát maximális. Tizenkét azonos rombusz építi fel, melyek akárcsak a hatszög élei, 120 fokos szögekben metszik egymást. Az élhosszúság és a sarkok középponttól való távolságának tekintetében is szoros kapcsolat van e két forma között, mivel ezek mindkét esetben pontosan egyformák. Ahogy a hatszög felosztható három azonos rombuszra, ugyanúgy a rombdodekaéder is felosztható négy identikus romboéderre.

Legtisztábban úgy lehet ezt elképzelni, hogy úgy a hatszöges mozaikozás parcellái, mint a rombdodekaéderes 3D konstrukció építőkockái közé új, azonos formájú és méretű, „interszekcionális” sejteket helyezünk el, melyek az eredetiek középpontjait (kölcsönösen) érintik. A hatszöges mintázat esetében a metszések rombuszos mozaikozáshoz, míg ennek térbeli megfelelőjének esetében romboéderes felosztáshoz fog vezetni.

A tesszaláció doméniumban maradva észrevehetjük, hogy létezik egy az előbb említettnél is jóval egyszerűbb megfelelési kapcsolat a négyzetes tapétázás és a kockás tércsempézés között. Kizárólag tetraéderek felhasználásával viszont már lehetetlen a teret hézagok nélkül kitölteni , így a „háromszöges tapétázás” térbeli megfelelője nem lehet egy szabályos tetraéderek által alkotott rendszer, ahogy azt a szimplista logika megkövetelné.

Tudtommal az egyetlen hivatalosan dokumentált, tetrahedrális szimmetrián alapuló 3D-s tesszalációs módozat a triakisz csonka tetrahedrális tércsempézés. Nevezhetjük-e ezt a háromszöges tapétázás térbeli megfelelőjének? Vagy létezne egy másik, ahol még több asszociációt találhatunk?

Ha a hatszöges és a háromszöges tesszalációk viszonyát vizsgáljuk, megállapíthatjuk, hogy az azonos méretű körbe írható, tapétázásban használt hatszögek és háromszögek pontosan 1:2 arányban állnak egymáshoz, vagyis kétszer annyi háromszögre lenne szükségünk, hogy ugyanazt a felületet lefedjük.

Ha egy hatszöget háromszöggé csonkítunk, a három levágott rész együttes felülete ugyanannyi lesz, mint a képződött háromszögé, formájuk meg azonos az ezt az egyenlő oldalú háromszöget középpontban három egyforma részre felosztó egyenlő szárú háromszögekével.

Térjünk vissza a rombikus dodekaéderhez és próbáljuk átvinni ezt a műveletet a harmadik dimenzióba. Észrevesszük, hogy csonkítással nem tudunk hasonló eredményt elérni. Végülis a katalán testet alkotó négy romboédert kéne két egyenlő részre osztani. Ez viszont kicsit komplexebb beavatkozást igényel.

Már közelebb állunk a helyes megoldáshoz, ha összekötjük az alakzat három ellentétes sarok-párját (leszámítva az egymáshoz közelebb található negyedik párost). A keletkezett három szakasz a forma középpontjában metszi egymást, páronként három választósíkot kialakítva. Ezzel a módszerrel épp a tetrahedrális tércsempézőhöz jutunk.

Viszont az antiprizmák szimmetrikus megfelezése megvalósítható egyetlen választófelülettel is. Ezt pedig a középvonalukon cikkcakkban húzódó „rézsútos hatszögek” (kék keret a fenti képen) által határolt minimálfelületek fogják lehetővé tenni. Ahogy a 2D-s tesszalációban minden egyenlő oldalú háromszöget három másik identikus forma vesz körül, három oldal egybeesésével, ennek 3D-s megfelelője esetében minden alakzatot négy azonos forma kell közrezárjon, négy azonos felület egybeesésével.

Az elemi tetrahedrális tércsempéző az egyetlen, mely ezt a feltételt maradéktalanul teljesíti.

***************************************************************************

A kontrasztoid

Körülírása

Rombdodekaéder vázszerkezetére épülő, 90 fokos hiperbolikus paraboloidokból álló, magasfokú szimmetriával rendelkező mértani kompozíció.

***************************************************************************

Megszerkesztése

A korábban felfedezett, ”tetrahedrális tércsempéző” nevű alakzat hatos, radiális kompozícióit módosítottam úgy, hogy miközben a keretek változást nem szenvednek, a konkáv alkotók (sáncvonalak) a centrumba dőljenek, ugyanakkor a konvexek (gerincek) meg duplán kiemelkedjenek.

Ez a kombinált manőver kétirányú hajlítást végez az egyenlőszárú háromszögeken (belső csúcsaikat elnyújtja), melynek következtében a „csillagpontokból” (a hatos struktúrák közepe) a forma élhosszúságával megegyező (fél)tengelyek válnak. Ezzel párhuzamosan az eredeti tetrahedrálisból oktahedrális szimmetria alakul ki.

Az ötlet kiindulópontja az volt, hogy a tesszalációs képesség megőrzése mellett, a pozitív és negatív alkotók közti kontrasztot próbáljam maximalizálni. Először ívek felhasználásával képzeltem ezt el, de közben rájöttem, hogy bizonyos törtvonalak nyújtják a legszakadékosabb lehetőséget, mikor is a konkáv alkotók egybeesnek a szimmetriatengelyekkel, töréspontjaik meg épp a forma középpontjába kerülnek. Az így létrejövő konstrukció valóban egy határeset lesz, mivel mind a négy tengely egész hosszán nulla vastagságúra keskenyedik el.

Az ezt követő gyakorlati lépés 90 fokos hiperbolikus paraboloidok megszerkesztésére irányult, mivel a vizualizálás folyamán megértettem, hogy ez lesz a háromszögek torzulásának a következménye (lásd a tetrahedrális tesszalátor szerkesztését is).

Az alábbi képen láthatjuk, ahogy az eredeti poliéder O’ pontja a nyeregfelület-együttes D’O szakaszává (féltengely) alakul át.

Mivel befele épp annyit vettünk el, amennyit kifele hozzáadtunk, a kontrasztoid térfogata azonos az elődjéjével, tehát szintén a rombikus dodekaéder fele (érdekes módon ez pontosan r^3), ugyanakkor mind a huszonnégy éle egybeesik az említett katalán testével.

***************************************************************************

Tulajdonságai

Huszonnégy görbült lapja, huszonnyolc éle (huszonnégy külső, négy belső) és tizennégy csúcsa van. A hiperbolikus paraboloidok négy széle közül kettő a rombuszok élein, míg a másik kettő a tengelyek mentén fekszik. A nyeregfelületek az alakzat középpontjában találkoznak, mindegyikük a konvex alkotója egyik végpontjával érintve a centrumot. A konvex alkotók másik végei a rombdodekaéder-keret négyes éltalálkozásaiban találhatóak. A konkáv alkotók mindkét végpontja a keret hármas éltalálkozásaiban van.

A forma négy tengelyén, mindkét oldalon kaleidociklus-szerű hatos csoportokat alkotnak a görbült felületek (nyolc), miközben mindegyikük szimultán két tengelyhez tartozik. A négyes éltalálkozásokat osztó hiperbolikus paraboloidok zárt térrészeket képeznek. Ezek az alakzatok tesszalációs képességgel bírnak, vagyis felületeikkel egymásra fektetve teljesen kitöltik a három dimenziós teret.

A kontrasztoid hat darab ilyen, éleikben érintkező „tércsempe” együtteseként is értelmezhető. A tércsempék között lévő hézagok formája pontosan ezek negatív lenyomata, így a rombuszok mentén egymásra fektetett alakzatok alkotta struktúra olyan térláncot képez, ahol az említett csempék fele-fele arányban váltakoznak csempe hiányokkal.

A nyeregfelületek négy különböző módon találkoznak egymással:

1. Két élben: Ennek két típusa létezik: konvex és konkáv találkozás. Első esetben a felületek konvex alkotóinak egy-egy vége esik egybe a forma középpontjában, 0 (nulla) fokos vektorokat alkotva egymással. Második esetben a felületek konkáv alkotóinak végpontjai esnek egybe a forma nyolc csúcsában (a hármas éltalálkozásokban), 360 fokos vektorokat képezve egymással.

2. Egy élben: Ennek két változata létezik, melyek közül az egyik esetben a szomszédos hiperbolikus paraboloidok felszínén egyetlen közös egyenest találunk.

3. Két csúcsban: A konvex alkotók végpontjai közösek, ezek a középpontban, illetve a csúcsokban (a négyes éltalálkozásokban) érintkeznek.

4. Egy csúcsban: Ennek három változata létezik. Minden esetben a konvex alkotók egyik végpontja közös (a középpontban). Egyik esetben a két alkotó egy törésmentes görbületet alkot, másik esetben ezek külső végpontjai polárisan helyezkednek el a négyes csúcsokon, míg harmadik esetben a lapok a hármas csúcsok közötti tengelyek két ellentétes oldalán helyezkednek el.

***************************************************************************

Összefüggése 2D formákkal

A rombdodekaéder és a hatszög közti „dimenziós megfeleltetésből” kiindulva a kontrasztoid 2D-s párja a váltakozó háromszöges tesszaláció egyik felének valamely radiális triádja, ahogy az alábbi ábrán a sötétebb szektorban láthatjuk (bordó és olívzöld).

Ahogy a hatszög felülete is duplája az őt felépítő háromszög trióknak, a rombikus dodekaéder térfogata is pontosan kétszer akkora, mint a kontrasztoidnak, a hiányrészek formája pedig megegyezik az alakzatot felépítő hat tércsempe formájával. Konkrétan tizenkét fél-tércsempe hiányról van szó, ezeket páronként egymásra fektetve kapjuk meg a kompozíció hat cellájának negatív lenyomatát. A hatszög három átlójának 3D-s megfelelője a rombdodekaéder négy tengelye.

A kontrasztoid rendkívül komplex szimmetriával rendelkezik. Úgy a teljes kompozíciónak, mint részelemeinek (hiperbolikus paraboloidok, kaleidociklusok, tércsempék) is számos szimmetriasíkja van. A direkt tükrözés mellett, hatvan, illetve kilencven fokos elfordítások eredményezik a mintaismétlődéseket.

Feltevésem, hogy a legmagasabb fokú formai komplementaritást képező struktúra.

Nevének jelentése „ellentét-forma”, ami a felszínén szimultán jelenlévő konvex és konkáv végleteket (tangenseket) képező parabolák harmonikus összefonódására utal.

****************************************************************************

A tetrahedrális tércsempéző

Osztályozásom szerint ez az első „archetipálisnak” nevezhető forma, ami röviden annyit jelent, hogy egy olyan befejezettségi állapotot testesít meg, ami valamely jól körülírható egyediségben tükröződik.

Ugyanakkor egy „anomáliának” is tekinthető, mivel minden eddigi tervezésem kizárólag görbült felszínekből épült fel, ez meg csak sík lapokból áll. Nem csoda, hogy felfedezését a véletlennek köszönhettem, miközben a négyes szintű kontinuitás kiterjesztésen dolgoztam.

********************************************************************************

Általánosságok

Tetrahedrális szimmetriájú, csillagszerű, „tércsempéző” (három dimenziós tesszalátor) mértani test. Huszonnégy egyenlő szárú háromszög alkotja, melyek négy hatos kompozíciót képeznek, három konvex és három konkáv (sánc) radiális éllel. Tíz csúcsa (négy hármas éltalálkozás, hat négyes éltalálkozás) és harminchat éle (huszonnégy konvex és tizenkét konkáv) van. A hatos kompozíciók mindegyike három koplanáris háromszögpárból áll, a párokat alkotó egyedek csúcsokban érintkezve egymással.

********************************************************************************

Megalkotása

1. Az eredeti metódus: Megkerestem egy szabályos tetraéder négy szimmetria tengelyén (csúcsokat a lapközepekkel összekötő egyenesek) azt a négy pontot, amelyek azonos távolságra vannak úgy a hozzájuk tartozó lapok sarkaitól, mint a középpontból kiinduló, az élek felezőpontjain keresztülhaladó egyenesek valamely pontjától (E az alábbi képen). Az ABC háromszög esetében ez a pont az O’.

Kiderült, hogy az elképzelésem csak egyetlen módon lehetséges, mégpedig úgy, ha ezek a bizonyos pontok az említett, a centrumot és az élfelezőket összekötő egyenesek, középponttól számított sqrt(2)/2 távolságaira kerülnek (ha az élek hossza 1 egység). Ahogy a tetraéder sarkainak középponttól való távolsága, a „sqrt(3/8)”, a tetraéder éleire mért 109.47 fokos körív tetőpontjának a centrumtól való távolságával egyenlő, rájöttem, hogy ezen új pontok középponttól való távolsága, a „sqrt(2)/ 2”, a tetraéder éleire mért 141.057 fokos körív ( 2*(180-109.47) ) tetőpontjának centrumtól való távolságával megegyező.

A hat pontot külön-külön összekötve a tetraéder összes csúcsával egy huszonnégy egyenlőszárú háromszögből álló struktúrát kapunk.

A fenti képen a tetraéder köré írható gömb sugara jelenti az 1 egységet, ennek függvényében az oldalak 2*sqrt(2/3), hozzávetőlegesen 1.633 méretűek. A jobboldali ábrán az E, F, G pontok által képezett sík hozzánk közelebb, az ABC háromszög tőlünk távolabb, míg az O’ köztük félúton található.

2. Tetraéderből kiindulva: Egy szabályos tetraéder lapjaiból szimultán négy darab, a tetraéder magasságával megegyező prizmát szerkesztünk. A négy prizma által meghatározott hat kettős metszet (ez magában foglalja a központi négyes metszetet is) együttese adja ki az alakzatunkat.

3. Rombdodekaéderből leszármaztatva: Az említett katalán test nyolc darab, három él találkozása által képezett sarkai közül négyet (a két tetrahedrális kompozíció közül egyiket) a forma középpontja irányába süllyesztünk olyan mértékben, hogy ezek pontosan kétszer közelebb kerüljenek a centrumhoz. Ez a legkönnyebben elképzelhető módszer, ugyanakkor a két poliéder közti szoros kapcsolatról is árulkodik (részletek az utolsó alcímnél).

A manőver következménye a sarkok eltűnése lesz, mivel az új pontok az eredeti helyükön hagyott négy „hármas sarok” és a hat „négyes sarok” által meghatározott egyenesekre kerülnek, mégpedig ezeknek felezőpontjaira (az eredeti metódusban meghatározott kiindulópont). A létrejött tizenkét egyenes négy hármas metszetet alkot, ezek osztják fel az alakzatot huszonnyégy identikus, egyenlő szárú háromszögre.

********************************************************************************

Képletek

Felülete: S=12*sqrt(2)/ sqrt(3)*a^, kb 9.7979*a^

Térfogata: V=8/ 3*sqrt(3)*a^3, kb 1.5396*a^3

Felülete a köréje írt gömb függvényében: S=9*sqrt(2)/ sqrt(3)

Térfogata a köréje írt gömb függvényében: V=r^3

V-gömb/ V-TetrTcs=4/3*PI, kb 4.18878

S-gömb/ S-TetrTcs=4*sqrt(3)/ 9*sqrt(2)*PI, kb 1.71006

(V-gömb/ V-TetrTcs)/ (S-gömb/ S-TetrTcs)=sqrt(6)

S-TetrTcs/ V-TetrTcs=9/ sqrt (2), kb 6.3639

Egyik háromszöge: A=1; B, C=sqrt(11)/ sqrt(12), kb 0.9574; alfa-szög: 62.965 fok, beta-szög, gamma-szög: 58.518 fok; S=sqrt(2)/ 2*sqrt(3)*a^

*******************************************************************************

A tesszaláció

Három alakzat összeillesztése során, az első és a harmadik mértani test két háromszöge koplanáris lesz és rombuszt fog alkotni, melynek jellemzői:

a=sqrt (11)/ sqrt (12); D=2 *sqrt(2)/ sqrt (3); d=1; D/ d=2*sqrt(2)/ sqrt(3), kb 1.633, ugyanaz, mint egy szabályos tetraéder oldalhosszúsága meg a köré írt gömb sugarának az aránya: 1/ 0.6123; A, C (hegyes) szögek: 62.964 fok; B, D (tompa) szögek: 117.036 fok; S=sqrt (2)/ sqrt (3)*a^; két szomszédos rombusz által alkotott szög: 146.443 fok.

Habár hasonlóak, ezek a rombuszok nem azonosak a rombdodekaédert felépítő változattal. Kissé keskenyebbek, így egyforma kisátlók esetében a nagyátlók közti arány 2/sqrt(3), ugyanaz a viszony, ami az egyenlő oldalú háromszög oldalai és magassága között áll fent.

Minden csúcs tíz alakzat között oszlik meg (hat négyes sarokkal és négy hármas sarokkal érintkezik). Minden él hat alakzat között oszlik meg. Ha ez függőleges, akkor három talpon álló és három fejére állított alakzat közös éle, mely a hatos kompozíció forgástengelyén található. Mindegyik alakzatot négy másik határolja. Ha a központi „talpon álló”, akkor az őt körülvevő négy „fejére állított” és vice versa. Vagyis mindegyik alakzat csak a hozzá képest fordítottan pozicionálthoz csatlakozhat, a rétegek sakktábla-szerű, térbeli mintázatot alkotva. Ez jól szemléltethető, ha két színt használunk a tércsempézéshez.

A tesszalációban tizenkét nempárhuzamos síkcsoportot különböztethetünk meg, ezekhez tartozó lapokat minden alakzaton egy-egy háromszögpár formájában találunk. A csúcsokban érintkező két háromszög egy „homokóra” formát alkot. Egy alakzat tizenkét homokórából épül fel. Minden síkhoz rombuszokból álló mintázat tartozik. Az azonos síkhoz tartozó, egymással párhuzamos rombuszsorok közti távolság pontosan 4a, vagyis a rombuszok kis átlóinak négyszerese. Következésképpen, két azonos tájolású, egymást függőleges soron követő alakzat középpontjai közti távolság szintén 4a.

Ha egy „emeletet” veszünk alapul, megállapíthatjuk, hogy az alakzatok normál és fordított pozíciókban váltakozva, cikkcakk irányvonalon csatlakoznak egymáshoz. A középpontjaik összekapcsolásával 120 fokos szögeket képező szakaszsorozatot nyerünk.

Ez a tesszaláció egy végtelen oldalhosszúságú szabályos tetraéder felé tart, az alakzatok a „négyzetes piramisszámokat” követve építik fel a folyamatosan növekvő tetrahedrális struktúrákat (1, 5, 14, 30, 55, 91…), így pl egy négy emelet magas struktúra harminc darab alakzatból áll.

********************************************************************************

Összefüggések szabályos mértani testekkel

A hármas csúcsokat a középponttal összekötve a forma négy egyenlő részre bontható, melyeket ha külső felükkel egy másik, azonos méretű alakzat felületére illesztünk, kívülre került belső feleik egy szabályos rombdodekaédert fognak alkotni.

Ezt a sajátosságot megtaláljuk a kockánál is, ahol ezt a hat részre bontással érjük el. A lényeges különbség a két forma között ebben a kontextusban az, hogy a kocka, a rombdodekaéder és a rombdodekaéder-csillag (mindhárom tércsempéző) egy három lépéses ciklikus folyamatban egymásból megalkothatóak (az említett szétbontás-ráfordítás metódussal). Eképpen a kockából rombdodekaáder, a rombdodekaéderből rombdodekaéder-csillag, a rombdodekaéder-csillagból meg kocka szerkeszthető (és így tovább). Ebben a „fraktálsorozatban” az azonos formák oldalhosszúsága folyamatosan duplázódik, térfogataik meg nyolcszorosodnak.

A tetrahedrális tércsempézőből elindítható a procedúra, de visszatérni már nem lehet hozzá. Formánk viszont megalkotható egy bizonyos fajta triakisz-tetraéder „csillagosításával”. Ez a triakisz-tetraéder pedig nem más, mint az alakzat megalkotásánál említett négy darab, tetrahedrális kompozíciót képező prizma belső (négyes) metszete. Megemlíthető még, hogy ha egy kockába úgy helyezünk bele egy tetrahedrális tércsempézőt, hogy a hat külső pontja ennek lapközepeit érinti, akkor a térfogata pontosan nyolcad része lesz a kockáénak.

Ezen forma továbbgondolása két másik érdekes alakzat felfedezéséhez vezetett: a kontrasztoid és az elemi tetrahedrális tércsempéző .

********************************************************************************

A tetrahedrális centrum-kontinuitás nyomában

Tervezéseim jelentős hányadát egy hipotetikus struktúra tökéletesítésének szenteltem, ami dióhéjban úgy foglalható össze, mint egy olyan tetrahedrális szimmetriájú alakzat, amelynek középpontja a felszínén található, miközben a lehető legmagasabb szintű felületi folyamatosság valósúl meg ezen a ponton keresztül.

A hosszan tartó „dinasztia” első és egyben legegyszerűbb képviselőjét négy gömb sajátos metszése hozza létre, ezáltal szoros rokonságban áll az első két 3D alkotásommal (lásd az előbbi részt).

Az új formát a fent említett műveletből származó hat dupla metszet együttese (beleértve a triplákat is) jelenti, ahol a négy gömböt olyan módon közelítjük egymáshoz, hogy egyetlen közös pontjuk legyen. Valójában ez egy másik, hatodkörívek által alkotott síkminta térbeli megfelelőjének tekinthető, amelyet három kör egy pontban való találkozása hoz létre.

A fenti kép jobbszélén beazonosíthatunk egy „kontinuitást” a függőleges, centrális vonal képében (valójában körív), amit egyik lebeny részlegesen takar. Hat ilyen, egymást középpontban metsző ív található az alakzat felületén. Azt hihetnénk, hogy ezek is szextánsok, az igazság viszont az, hogy valahol 1/5 és 1/6 között vannak.

Az első asszociációt megőrizve, a következő lépés további folyamatosságok elérésére irányult. Két módozat van rá, hogy meghaladjuk az eredeti felállást: egyik, hogy koncentrikus folytonosságot képezzünk a „hármas szirmokban”, a másik meg, hogy egyenletességet hozzunk létre az éltalálkozásokban.

A „koncentrikus típus” esetében négy tölcsér fogja felváltani a szirom-triókat, miközben az alkotók forgásfelületeket hoznak létre, a „csúcs típus” esetében pedig a hármaspontokban, az érintő síkhoz képest 0 (nulla) fokos vektor-konvergencia valósul meg, mivel ott a hat él egy gömbfelület tartozéka (109.47 fokos körívek).

Az ezt követő továbblépést a koncentrikus típus alkotóinak olyan jellegű módosítása jelentette, aminek folyományaként az eredeti forma külső szektorai eltűntek, konkrétan egyetlen pontba redukálódtak. A centrális folytonosság természetesen megmaradt (alábbi kép).

Ezen konstrukció továbbfejlesztéséből két, az előbbinél is magasabb fokú összkoherenciát képező másik született meg: az első esetében új folytonosságok jelentek meg az élek felezőpontjain keresztül, míg a második esetében a sarkok eltűntek az összefutó, nulla fokos vektorok képezte egyenletesség következtében. Elméletileg ezutóbbi az „első fokú csúcs típus” evolválásának is tekinthető.

Miközben különböznek, az elődjükhöz hasonlóan mindkettő négy egymást metsző forgásfelületből épül fel, ahol a görbületek közti eltérések adják a szpecifikus tulajdonságjavulásokat. Az elsőnél továbbra is diszkontinuitások vannak jelen a csúcsokban (árkok), míg a második esetében nem tompultak az élek. Egyik erőssége a másik gyengéje és fordítva.

A „végső szintet” egy olyan alakzat jelentette, amelyik az előbbi kettő előnyeit sikeresen keresztezte, míg domináns hiányosságaikat meg kiküszöbölte a felépítéséből. A dilemmát „redőzött tölcsérek” megalkotásával hidaltam át, amit hármas szimmetriájú, hullámszerű keringési pályát leíró alkotók képeztek meg, emígy megőrizve úgy a koncentrikus, mint a csúcsbeli folytonosságokat.

Ennek ellenére a forma mégsem tekinthető befejezettnek, avagy „archetipálisnak”, mivel az élek csupán elhalványodtak, nem tűntek el teljesen. Ugyanakkor valószínűleg az eredeti idea lehetséges legjobb gyakorlati megközelítése.

Valójában már jóideje gyanítottam, hogy az általam intuitívan keresett végcél egy már létező alakzat, melynek neve Steiner római felülete. Ez a szabályos trifólium térbeli leképződésének tekinthető és sok strukturális hasonlóságot mutat saját alkotásaimmal, kivéve, hogy önmetsző.

Amit én próbáltam az volt, hogy hasonló, teljes felületi folytonosságot érjek el ezen önmetsző tulajdonság kizárásával, ami végül lehetetlennek bizonyult. A realitás talaján maradva, „lehetséges maximum”-nak nevezhetjük a négyes szint eredményét ebben a kontextusban.

*********************************************************************************

Említésre méltóak

Létezik néhány, főként esztétikai szempontból figyelemre méltó másodlagos produktum, melyek felépítése JinJang-szerű komplementaritást tükröz.

Ezek közül kettő az élkeresztező/ koncentrikus 3-as szintű alakzat egyszerűsítéséből származik: egyiket ennek egyharmadának, a másikat pedig kétharmadának nevezhetjük. Az első egyféle „pszeudo hiperbolikus paraboloid„, a másik inkább az Enneper minimálfelületre vagy a cross-cap-re emlékeztető, beállításától függően.

Ennek ellenére, az említett háromtól eltérően, az általam megalkotott formák különböző forgásfelületek összeillesztéséből jöttek létre, így nem tekinthetőek valódi folyamatos struktúráknak.

Ahogy várható, két 1/3-as metszéséből egy 2/3-ast nyerünk (hasonlítsd össze a felső sor első két képét az alsó sor jobboldalijával). Mindkettő konvex szektorai a hármas szintű alakzat tölcséreinek külső felületének, konkáv tartományai pedig ezen tölcsérek belső felületének bizonyos részegységeiből származnak.

Az egyharmad főmetszete egy quadrifolium, ahogy azt az alábbi kép mutatja. Mellette jobboldalt egy szimmetrikusan pozicionált dupla alakzat látható (tehát hatszorosa), melynek középpontja, meglepő módon még mindig a felületén található (tizenkét irányból megközelíthető).

Egy másik elképzelésemet az előbbi 1/3-as inspirálta, ahol a csúcsíveket képező görbületek olyan módon változnak meg, melynek folyományaként teljes tangenciát (180 fokos vektor találkozást) alkotnak egymással, ami egy kétirányból szimultán összehajtott tórusz-szerű kinézetet eredményez. A köztük lévő szoros kapcsolatot leginkább a főmetszeteikre tekintve láthatjuk át.

Miközben az alkotók itt Bernoulli-lemniszkáta felek, ez a forma sem haladja meg a pszeudo-homogén állapotot, ugyanazt a négyes felosztást (ezúttal 180 fokos szegmensek képében) mutatva fel, mint az előbbi kettő.

Abban a periódusban, mikor elkezdtem kísérletezni a hullámos forgásfelületek képzésével, mely sajátos manőver végül a négyes szintű kontinuitás-kiterjesztés megalkotásához vezetett, előzetesen néhány másik modellt is terveztem.

Az alábbi képen látható első alakzat két, a második négy, míg a harmadik nyolc „hullám-felület” metszéséből jött létre.

Miközben az elsőt teljes fluiditás jellemzi, hiányzik belőle a tetrahedrális felépítés, a második már tetrahedrális, viszont a konkáv találkozásokban nem képez folyamatosságot (vagy tangenciát), míg a harmadik, hat lemniszkáta által alkotott vázra épülő, oktahedrális struktúra nemigen prezentál semmiféle komplementaritás effektust, mivel itt a konvex szektorok elfedték a konkávokat (ez részben az elsőre is érvényes).

Mindanozáltal egész harmonikus kompozíciók.

*********************************************************************************

A kezdetek

A mértan területén kifejtett alkotó tevékenységem konkrét kiindulópontját a hatodkörívek (szextánsok) különleges tulajdonságainak intuitív felfedezése jelentette. Sokkal inkább esztétikai szükséglet, mint tudásszomj volt ennek a pszichológiai mozgatórugója. Észrevettem, hogy ez a szimpla forma egyféle alap-összetevő, amiből különböző, megkapóan harmonikus struktúrát lehet a síkban képezni.

Egyáltalán nem túlzás a megszállottság kifejezést használni arra az intenzív pozitív érzésre, ami folyamatosan motivált, egyfelől, hogy gyakorlati szinten kisérletezzek ezzel az „absztrakt sejttel”, másfelől meg, hogy metafizikai szinten is elmélyedjek.

Az általam elsődlegesen beazonosított kompozíciók az egyenlő oldalú háromszögek vázára épülő ív triádok voltak, amiből négy típus létezik: három konkáv, három konvex, két konvex és egy konkáv, egy konvex és két konkáv. Az alapháromszöggel való viszonyukból kiindulva ezeket „-3, +3, +1 és -1” névre kereszteltem, utalva a megkülönböztetésért felelős, kapcsolódó körszegmensek tájolására.

Három, egymást érintő (tangens) kör közötti hézag jelenti az első esetet (-3), a második és harmadik lehetőséget ugyancsak három, de ezúttal egymás középpontjait érintő körök közös halmazai biztosítják, ahol a központi hármas metszet a +3-as, a kettős metszetek pedig a +1-esek, végül a negyedik esetet két tangens kör, valamint a közéjük helyezett, az előbbiek középpontjait szimultán érintő, centrális harmadik jelentik, ahol a -1-esek a központi kör metszésből kimaradó szegmensei. A görbe oldalú háromszögeket szimmetrikusan összeillesztve nagyon szép mintákat kapunk, melyek a legkifejezőbbek, ha komplementer színeket használunk, sakktáblaszerűen.

Megjegyzés: csak utólag hallottam a híres Élet virága mintázatról, felismerve, hogy ugyanazok az egységek építik fel, mint az általam generált kompozíciókat.

A fenti JinJang-szerű konstrukciót hat fehér és hat fekete +3-as és -3-as, vagy hat +1-es és -1-es építi fel, attól függően, hogy az egyes háromszög oldalak kétoldalán húzódó ívek melyik felét tekinted határvonalnak. Mivel a konvex és konkáv görbék összege egyforma bármelyiket is választanád, úgy a fehér, mint a fekete szektorok felülete is ugyanakkora, mintha egyenlő oldalú háromszögeket vagy rombuszokat használtunk volna a tapétázáshoz.

****************************************************************************

Habár direkt módon nem kapcsolódik ide, megemlíteném egy kisléptékű, viszont személyes tekintetben jelentős eredményre jutásomat: ez a „legtökéletlenebb háromszög” fogalma. Az elgondolás magva az egyenlő oldalú háromszöggel való fordított viszony, utóbbit tekintve a „legtökéletesebbnek” a kategóriában. Mivel ott mindegyik oldal egyenlő, az ezzel ellentétes esetben ezek a legkevésbé egyformák kéne legyenek. A háromszög oldalai közti viszonyt három arány határozza meg: a/b, b/c és a/c. Ahhoz, hogy a legegyenlőtlenebb komplexumot kapjuk, az ezen három viszony közötti legkiegyensúlyozottabb is a lehető legtávolabb kéne maradjon az egyformaságtól.

A talányra az a/b=b/c; a=b+c kettős összefüggés adta meg a választ, ami egy ismert másodfokú egyenlethez vezetett, 1.618003…-as megoldással. Ez pedig nem más, mint (meglepetés!) az aranymetszés. Az így létrejött „legkevésbé szabályos háromszög” valójában egy egyenes szakasszá lapult ki, ahol két csúcs a végpontokban, míg a harmadik ezek között, egyikhez 1.618033…-szor közelebb található.

***************************************************************************

Idővel szó szerint „szintet léptem” és immár a harmadik dimenzióban kezdtem kutakodni, első célként a hatodkörív térbeli megfelelőjének a beazonosítását tűzve ki. Kissé kiábrándító volt rájönni, hogy ilyen dolog nem létezik, mivel egy gömbfelület konvex és konkáv részegységeit nem lehet a 2D-s tapétázáshoz hasonló komplementer módon összeillesztgetni. Azért továbbra is törtem a fejem, válaszokat kerestem.

Első kiagyalásom a kifejezően „gömbök közti tér” névre keresztelt struktúra volt, ami konkrétan nem más, mint négy tangens gömb közötti anyaghiány, hézag. Mivel ez nem egy teljesen zárt űrrész, megállapítotam, hogy parciálisan „mesterséges módon” kell leválasztani az összefüggő térhálóból, ennek helyes módozata pedig az lenne, hogy a szűkületeknél vonom meg a határokat.

Akkoriban még azt hittem, hogy egy szorosan csomagolt gömbhalmaz egyedei között kizárólag ilyen tetrahedrális hézagok képezik a közöket, csak később értettem meg, hogy kétféle űrrész (a másik az oktahedrális) sajátos váltakozása adja ki a teljes képet. Valójában ugyanaz a tévedés, mint annak a feltételezése, hogy csupán szabályos tetraéderekkel maradéktalanul ki lehet tölteni a háromdimenziós teret (ide értve Arisztotelészt is). Ez így nem lehetséges, miközben egy bizonyos tetraéder-oktaéder kombinációval már igen.

A régebbi 2D összefüggéseket követve a második (komplementer) ötletterv kiindulópontja az volt, hogy négy gömb olyan módon metssze egymást, aminek folyományaként mindegyik érinti a többiek középpontjait. Eképpen a centrális, a négyes metszet által határolt közös halmaz egy gömbszerű tetraéder lesz. A tetrahedrális hézaggal ellentétben, amit teljes mértékben nem lehet a háromszöghézagok 3D-s leképzésének tekinteni, ez a tetraéder, melyet kizárólag görbült, konvex felületek határolnak, pontosan a Reuleaux háromszög térbeli megfelelője.

Néhány év múlva első ízben hallottam a 3D nyomtatási technológiáról és a virtuális dizájnerek, valamint fogtechnikusok segítségével hamarosan kezemben tarthattam a konkrét tárgyakat is. Következésképpen méginkább bevontam magam az érdekes alakzatok tervezésébe.

****************************************************************************

A projektről

Üdv!

Gyerekkorom óta erős hatást gyakoroltak rám a mértani alakzatok, úgy a belőlük sugárzó szimpla esztétika, mint az elemek közötti komplex összefüggések okán. A szimmetria, az arányok, a komplementaritás és a koherencia képezik az általános formai szépség alapjait. Számomra a geometria egyféle „tömörített tudás” abban az értelemben, hogy gyakran spontán megértésekhez vezet, melyek néha egészen mély, sajátosan kielégítő megélésekkel egészülnek ki. Tudatosan kerülöm a mainstream ”szakrális” és ”spirituális” kifejezéseket abból a megfontolásból, hogy ne keverjék össze a munkásságom az áltudományos kategóriával.

A blog célja, hogy megossza és megfelelően körülírja az általam felfedezett, érdekes tulajdonságokkal rendelkező mértani alakzatokat és kompozíciókat. Az „archetipálisnak”, avagy befejezettnek vélt formákhoz részletesebb leírások fognak tartozni, míg mások csak vázlatosabban lesznek megemlítve. Habár nem vagyok matematikus, mivel a pontosság itt alap, a prezentációk túlnyomóan technikai vonzatúak lesznek, csak néha feltűnő személyesebb kiegészítésekkel, mint egyes elnevezések és következtetések. Összességében a cél a tudomány és a művészet szerves ötvözése, ahol miközben ezek külön-külön is értékelhetőek, ugyanakkor egymással szimbiotikus konglomerátumot is képeznek.

A 3D nyomtatási technológia fejlődésével és globális elterjedésével a „matematikai művészet” nevű feltörekvő, új doménium egyre nagyobb népszerűségnek örvend. Intuítív, fantáziavezérelt alkatként sosem indulok ki száraz algebrai képletekből, függvényekből. Általánosságként az alkotások egyszerűsített folyamata egy homályosan körvonalazott ötletet adó, bevillanásszerű észleléssel kezdődik, ezt egy gyakran hosszadalmas racionális intervallum követi, aminek folytán meghatározom a pontos összefüggéseket, majd lineáris logikai lépésekkel ezeket elérem és összehangolom, végül ezen utóbbiak, a 3D modellezés útmutatását szolgáló konkrét manőverekre való „lefordításával” záródik.

A nevem Orbán Sebestyén Zsombor (Zéró), erdélyi szabadgondolkodó és független kutató vagyok, ez pedig a második blogom, amit a The Exiled Weatherman előzött meg.