A tetrahedrális tércsempéző

Osztályozásom szerint ez az első “archetipálisnak” nevezhető forma, ami röviden annyit jelent, hogy egy olyan befejezettségi állapotot testesít meg, ami valamely jól körülírható egyediségben tükröződik.

Ugyanakkor egy “anomáliának” is tekinthető, mivel minden eddigi tervezésem kizárólag görbült felszínekből épült fel, ez meg csak sík lapokból áll. Nem csoda, hogy felfedezését a véletlennek köszönhettem, miközben a négyes szintű kontinuitás kiterjesztésen dolgoztam.

********************************************************************************

Általánosságok

Tetrahedrális szimmetriájú, csillagszerű, “tércsempéző” (három dimenziós tesszalátor) mértani test. Huszonnégy egyenlő szárú háromszög alkotja, melyek négy hatos kompozíciót képeznek, három konvex és három konkáv (sánc) radiális éllel. Tíz csúcsa (négy hármas éltalálkozás, hat négyes éltalálkozás) és harminchat éle (huszonnégy konvex és tizenkét konkáv) van. A hatos kompozíciók mindegyike három koplanáris háromszögpárból áll, a párokat alkotó egyedek csúcsokban érintkezve egymással.

********************************************************************************

Megalkotása

1. Az eredeti metódus: Megkerestem egy szabályos tetraéder négy szimmetria tengelyén (csúcsokat a lapközepekkel összekötő egyenesek) azt a négy pontot, amelyek azonos távolságra vannak úgy a hozzájuk tartozó lapok sarkaitól, mint a középpontból kiinduló, az élek felezőpontjain keresztülhaladó egyenesek valamely pontjától (E az alábbi képen). Az ABC háromszög esetében ez a pont az O’.

Kiderült, hogy az elképzelésem csak egyetlen módon lehetséges, mégpedig úgy, ha ezek a bizonyos pontok az említett, a centrumot és az élfelezőket összekötő egyenesek, középponttól számított sqrt(2)/2 távolságaira kerülnek (ha az élek hossza 1 egység). Ahogy a tetraéder sarkainak középponttól való távolsága, a “sqrt(3/8)”, a tetraéder éleire mért 109.47 fokos körív tetőpontjának a centrumtól való távolságával egyenlő, rájöttem, hogy ezen új pontok középponttól való távolsága, a “sqrt(2)/ 2”, a tetraéder éleire mért 141.057 fokos körív ( 2*(180-109.47) ) tetőpontjának centrumtól való távolságával megegyező. 

A hat pontot külön-külön összekötve a tetraéder összes csúcsával egy huszonnégy egyenlőszárú háromszögből álló struktúrát kapunk. 

A fenti képen a tetraéder köré írható gömb sugara jelenti az 1 egységet, ennek függvényében az oldalak 2*sqrt(2/3), hozzávetőlegesen 1.633 méretűek. A jobboldali ábrán az E, F, G pontok által képezett sík hozzánk közelebb, az ABC háromszög tőlünk távolabb, míg az O’ köztük félúton található.

2. Tetraéderből kiindulva: Egy szabályos tetraéder lapjaiból szimultán négy darab, a tetraéder magasságával megegyező prizmát szerkesztünk. A négy prizma által meghatározott hat kettős metszet (ez magában foglalja a központi négyes metszetet is) együttese adja ki az alakzatunkat. 

3. Rombdodekaéderből leszármaztatva: Az említett katalán test nyolc darab, három él találkozása által képezett sarkai közül négyet (a két tetrahedrális kompozíció közül egyiket) a forma középpontja irányába süllyesztünk olyan mértékben, hogy ezek pontosan kétszer közelebb kerüljenek a centrumhoz. Ez a legkönnyebben elképzelhető módszer, ugyanakkor a két poliéder közti szoros kapcsolatról is árulkodik (részletek az utolsó alcímnél).

A manőver következménye a sarkok eltűnése lesz, mivel az új pontok az eredeti helyükön hagyott négy “hármas sarok” és a hat “négyes sarok” által meghatározott egyenesekre kerülnek, mégpedig ezeknek felezőpontjaira (az eredeti metódusban meghatározott kiindulópont). A létrejött tizenkét egyenes négy hármas metszetet alkot, ezek osztják fel az alakzatot huszonnyégy identikus, egyenlő szárú háromszögre.

********************************************************************************

Képletek

Felülete:   S=12*sqrt(2)/ sqrt(3)*a^, kb 9.7979*a^

Térfogata: V=8/ 3*sqrt(3)*a^3, kb 1.5396*a^3

Felülete a köréje írt gömb függvényében:  S=9*sqrt(2)/ sqrt(3)

Térfogata a köréje írt gömb függvényében: V=r^3

V-gömb/ V-TetrTcs=4/3*PI, kb 4.18878

S-gömb/ S-TetrTcs=4*sqrt(3)/ 9*sqrt(2)*PI, kb 1.71006

(V-gömb/ V-TetrTcs)/ (S-gömb/ S-TetrTcs)=sqrt(6)

S-TetrTcs/ V-TetrTcs=9/ sqrt (2), kb 6.3639  

Egyik háromszöge: A=1; B, C=sqrt(11)/ sqrt(12), kb 0.9574; alfa-szög: 62.965 fok, beta-szög, gamma-szög: 58.518 fok; S=sqrt(2)/ 2*sqrt(3)*a^

*******************************************************************************

A tesszaláció

Három alakzat összeillesztése során, az első és a harmadik mértani test két háromszöge koplanáris lesz és rombuszt fog alkotni, melynek jellemzői:

a=sqrt (11)/ sqrt (12); D=2 *sqrt(2)/ sqrt (3); d=1; D/ d=2*sqrt(2)/ sqrt(3), kb 1.633, ugyanaz, mint egy szabályos tetraéder oldalhosszúsága meg a köré írt gömb sugarának az aránya: 1/ 0.6123; A, C (hegyes) szögek: 62.964 fok; B, D (tompa) szögek: 117.036 fok; S=sqrt (2)/ sqrt (3)*a^; két szomszédos rombusz által alkotott szög: 146.443 fok.

Habár hasonlóak, ezek a rombuszok nem azonosak a rombdodekaédert felépítő változattal. Kissé keskenyebbek, így egyforma kisátlók esetében a nagyátlók közti arány 2/sqrt(3), ugyanaz a viszony, ami az egyenlő oldalú háromszög oldalai és magassága között áll fent.

Minden csúcs tíz alakzat között oszlik meg (hat négyes sarokkal és négy hármas sarokkal érintkezik). Minden él hat alakzat között oszlik meg. Ha ez függőleges, akkor három talpon álló és három fejére állított alakzat közös éle, mely a hatos kompozíció forgástengelyén található. Mindegyik alakzatot négy másik határolja. Ha a központi “talpon álló”, akkor az őt körülvevő négy “fejére állított” és vice versa. Vagyis mindegyik alakzat csak a hozzá képest fordítottan pozicionálthoz csatlakozhat, a rétegek sakktábla-szerű, térbeli mintázatot alkotva. Ez jól szemléltethető, ha két színt használunk a tércsempézéshez.

A tesszalációban tizenkét nempárhuzamos síkcsoportot különböztethetünk meg, ezekhez tartozó lapokat minden alakzaton egy-egy háromszögpár formájában találunk. A csúcsokban érintkező két háromszög egy “homokóra” formát alkot. Egy alakzat tizenkét homokórából épül fel. Minden síkhoz rombuszokból álló mintázat tartozik. Az azonos síkhoz tartozó, egymással párhuzamos rombuszsorok közti távolság pontosan 4a, vagyis a rombuszok kis átlóinak négyszerese. Következésképpen, két azonos tájolású, egymást függőleges soron követő alakzat középpontjai közti távolság szintén 4a.

Ha egy “emeletet” veszünk alapul, megállapíthatjuk, hogy az alakzatok normál és fordított pozíciókban váltakozva, cikkcakk irányvonalon csatlakoznak egymáshoz. A középpontjaik összekapcsolásával 120 fokos szögeket képező szakaszsorozatot nyerünk.

Ez a tesszaláció egy végtelen oldalhosszúságú szabályos tetraéder felé tart, az alakzatok a “négyzetes piramisszámokat” követve építik fel a folyamatosan növekvő tetrahedrális struktúrákat (1, 5, 14, 30, 55, 91…), így pl egy négy emelet magas struktúra harminc darab alakzatból áll.

********************************************************************************

Összefüggések szabályos mértani testekkel

A hármas csúcsokat a középponttal összekötve a forma négy egyenlő részre bontható, melyeket ha külső felükkel egy másik, azonos méretű alakzat felületére illesztünk, kívülre került belső feleik egy szabályos rombdodekaédert fognak alkotni.

Ezt a sajátosságot megtaláljuk a kockánál is, ahol ezt a hat részre bontással érjük el. A lényeges különbség a két forma között ebben a kontextusban az, hogy a kocka, a rombdodekaéder és a rombdodekaéder-csillag (mindhárom tércsempéző) egy három lépéses ciklikus folyamatban egymásból megalkothatóak (az említett szétbontás-ráfordítás metódussal). Eképpen a kockából rombdodekaáder, a rombdodekaéderből rombdodekaéder-csillag, a rombdodekaéder-csillagból meg kocka szerkeszthető (és így tovább). Ebben a “fraktálsorozatban” az azonos formák oldalhosszúsága folyamatosan duplázódik, térfogataik meg nyolcszorosodnak.

A tetrahedrális tércsempézőből elindítható a procedúra, de visszatérni már nem lehet hozzá. Formánk viszont megalkotható egy bizonyos fajta triakisz-tetraéder “csillagosításával”. Ez a triakisz-tetraéder pedig nem más, mint az alakzat megalkotásánál említett négy darab, tetrahedrális kompozíciót képező prizma belső (négyes) metszete. Megemlíthető még, hogy ha egy kockába úgy helyezünk bele egy tetrahedrális tércsempézőt, hogy a hat külső pontja ennek lapközepeit érinti, akkor a térfogata pontosan nyolcad része lesz a kockáénak.

Ezen forma továbbgondolása két másik érdekes alakzat felfedezéséhez vezetett: a  kontrasztoid  és az  elemi tetrahedrális tércsempéző

********************************************************************************

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük