A kontrasztoid

Körülírása

Rombdodekaéder vázszerkezetére épülő, 90 fokos hiperbolikus paraboloidokból álló, magasfokú szimmetriával rendelkező mértani kompozíció.

***************************************************************************

Megszerkesztése

A korábban felfedezett, ”tetrahedrális tércsempéző” nevű alakzat hatos, radiális kompozícióit módosítottam úgy, hogy miközben a keretek változást nem szenvednek, a konkáv alkotók (sáncvonalak) a centrumba dőljenek, ugyanakkor a konvexek (gerincek) meg duplán kiemelkedjenek.

Ez a kombinált manőver kétirányú hajlítást végez az egyenlőszárú háromszögeken (belső csúcsaikat elnyújtja), melynek következtében a “csillagpontokból” (a hatos struktúrák közepe) a forma élhosszúságával megegyező (fél)tengelyek válnak. Ezzel párhuzamosan az eredeti tetrahedrálisból oktahedrális szimmetria alakul ki.

Az ötlet kiindulópontja az volt, hogy a tesszalációs képesség megőrzése mellett, a pozitív és negatív alkotók közti kontrasztot próbáljam maximalizálni. Először ívek felhasználásával képzeltem ezt el, de közben rájöttem, hogy bizonyos törtvonalak nyújtják a legszakadékosabb lehetőséget, mikor is a konkáv alkotók egybeesnek a szimmetriatengelyekkel, töréspontjaik meg épp a forma középpontjába kerülnek. Az így létrejövő konstrukció valóban egy határeset lesz, mivel mind a négy tengely egész hosszán nulla vastagságúra keskenyedik el.

Az ezt követő gyakorlati lépés 90 fokos hiperbolikus paraboloidok megszerkesztésére irányult, mivel a vizualizálás folyamán megértettem, hogy ez lesz a háromszögek torzulásának a következménye (lásd a tetrahedrális tesszalátor szerkesztését is).

Az alábbi képen láthatjuk, ahogy az eredeti poliéder O’ pontja a nyeregfelület-együttes D’O szakaszává (féltengely) alakul át.

Mivel befele épp annyit vettünk el, amennyit kifele hozzáadtunk, a kontrasztoid térfogata azonos az elődjéjével, tehát szintén a rombikus dodekaéder fele (érdekes módon ez pontosan r^3), ugyanakkor mind a huszonnégy éle egybeesik az említett katalán testével.

***************************************************************************

Tulajdonságai

Huszonnégy görbült lapja, huszonnyolc éle (huszonnégy külső, négy belső) és tizennégy csúcsa van. A hiperbolikus paraboloidok négy széle közül kettő a rombuszok élein, míg a másik kettő a tengelyek mentén fekszik. A nyeregfelületek az alakzat középpontjában találkoznak, mindegyikük a konvex alkotója egyik végpontjával érintve a centrumot. A konvex alkotók másik végei a rombdodekaéder-keret négyes éltalálkozásaiban találhatóak. A konkáv alkotók mindkét végpontja a keret hármas éltalálkozásaiban van. 

A forma négy tengelyén, mindkét oldalon kaleidociklus-szerű hatos csoportokat alkotnak a görbült felületek (nyolc), miközben mindegyikük szimultán két tengelyhez tartozik. A négyes éltalálkozásokat osztó hiperbolikus paraboloidok zárt térrészeket képeznek. Ezek az alakzatok tesszalációs képességgel bírnak, vagyis felületeikkel egymásra fektetve teljesen kitöltik a három dimenziós teret.

A kontrasztoid hat darab ilyen, éleikben érintkező “tércsempe” együtteseként is értelmezhető. A tércsempék között lévő hézagok formája pontosan ezek negatív lenyomata, így a rombuszok mentén egymásra fektetett alakzatok alkotta struktúra olyan térláncot képez, ahol az említett csempék fele-fele arányban váltakoznak csempe hiányokkal. 

A nyeregfelületek négy különböző módon találkoznak egymással:

1. Két élben: Ennek két típusa létezik: konvex és konkáv találkozás. Első esetben a felületek konvex alkotóinak egy-egy vége esik egybe a forma középpontjában, 0 (nulla) fokos vektorokat alkotva egymással. Második esetben a felületek konkáv alkotóinak végpontjai esnek egybe a forma nyolc csúcsában (a hármas éltalálkozásokban), 360 fokos vektorokat képezve egymással.

2. Egy élben: Ennek két változata létezik, melyek közül az egyik esetben a szomszédos hiperbolikus paraboloidok felszínén egyetlen közös egyenest találunk.

3. Két csúcsban: A konvex alkotók végpontjai közösek, ezek a középpontban, illetve a csúcsokban (a négyes éltalálkozásokban) érintkeznek.

4. Egy csúcsban: Ennek három változata létezik. Minden esetben a konvex alkotók egyik végpontja közös (a középpontban). Egyik esetben a két alkotó egy törésmentes görbületet alkot, másik esetben ezek külső végpontjai polárisan helyezkednek el a négyes csúcsokon, míg harmadik esetben a lapok a hármas csúcsok közötti tengelyek két ellentétes oldalán helyezkednek el.

***************************************************************************

Összefüggése 2D formákkal

A rombdodekaéder és a hatszög közti “dimenziós megfeleltetésből” kiindulva a kontrasztoid 2D-s párja a váltakozó háromszöges tesszaláció egyik felének valamely radiális triádja, ahogy az alábbi ábrán a sötétebb szektorban láthatjuk (bordó és olívzöld).

Ahogy a hatszög felülete is duplája az őt felépítő háromszög trióknak, a rombikus dodekaéder térfogata is pontosan kétszer akkora, mint a kontrasztoidnak, a hiányrészek formája pedig megegyezik az alakzatot felépítő hat tércsempe formájával. Konkrétan tizenkét fél-tércsempe hiányról van szó, ezeket páronként egymásra fektetve kapjuk meg a kompozíció hat cellájának negatív lenyomatát. A hatszög három átlójának 3D-s megfelelője a rombdodekaéder négy tengelye. 

A kontrasztoid rendkívül komplex szimmetriával rendelkezik. Úgy a teljes kompozíciónak, mint részelemeinek (hiperbolikus paraboloidok, kaleidociklusok, tércsempék) is számos szimmetriasíkja van. A direkt tükrözés mellett, hatvan, illetve kilencven fokos elfordítások eredményezik a mintaismétlődéseket. 

Feltevésem, hogy a legmagasabb fokú formai komplementaritást képező struktúra.

Nevének jelentése “ellentét-forma”, ami a felszínén szimultán jelenlévő konvex és konkáv végleteket (tangenseket) képező parabolák harmonikus összefonódására utal. 

****************************************************************************

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük