Az elemi tetrahedrális tércsempéző

Körülírása

Négy hármas szimmetriájú nyeregfelület által alkotott tetrahedrális, térkitöltő poliéder. 

***************************************************************************

Tervezése

Ezt az alakzatot, a kontrasztoidhoz hasonlóan szintén a huszonnégy lapú tetrahedrális forma továbbfejlesztéséből nyertem. Gyakorlatilag nem más, mint az említett tércsempézőnek a rombdodekaéderrel közös élei képezte négy “ferde hatszögkeret” által határolt minimálfelületek közti térrész. Dióhéjban úgy lehetne kifejezni az előbbihez való viszonyát, hogy a keret módosítása nélkül, a hatos kompozíciókat alkotó háromszögek összeolvadnak, hullámszerű folytonosságot képeznek. Konkrétan, úgynevezett “majomnyergek” jönnek így létre.

A fent említett két formával való szoros kapcsolata következtében térfogata ezekével megegyező, tehát pontosan r^3. Felületeik közti arány: 1.03075.

Megjegyzés: Mivel még mindig jelentős az asszimetria a szerényebb matek alapjaim és a velemszületett vizualizálási képességem között, az algebrai megközelítés ebben az esetben startból ki volt zárva. Szerencsére a 3D program egyik automatikus funkciója önmagában el tudta végezni a szükséges műveletet, lerövidítve a máskülönben jóval időigényesebb procedúrát, képzett matematikusok bevonásával.

***************************************************************************

Feltevés

Ahogy a rombdodekaéderek összeillesztésével létrehozott tértöltő struktúrát a szabályos hatszöges tesszaláció térbeli megfelelőjének tartják, az ezen alakzatok által létrehozott “térhálót” a síkbeli háromszöges tesszaláció háromdimenziós verziójának tekinthetjük. Ebből kifolyólag a forma jogosult az “elemi tetrahedrális tércsempéző” titulusra.

***************************************************************************

A megfeleltetések alap-összefüggései:

A feltevés bizonyítása

A két- és háromdimenziós mértani alakzatok között létezik egy bizonyos összefüggés, amit “megfelelési kapcsolatnak” nevezhetünk. Minél szabályosabb a forma, annál egyértelműbb ez a megfelelés. Így a körnek a gömb, a négyzetnek a kocka, az egyenlő oldalú háromszögnek meg a szabályos tetraéder a háromdimenziós partnere. Ugyanezt a szimpla logikát követve, a szabályos ötszög és a szabályos dodekaéder között sem nehéz észrevenni a rokonsági kapcsolatot.

Tudjuk viszont, hogy csupán öt fajta “plátói test” létezik, ezeket meg mindössze három fajta szabályos poligon építi fel. Mindhármat megemlítettük már, a megfelelési kapcsolatok legegyszerűbb formáit ezek szerint kiaknáztuk.

Lépjünk egyet előre a szabályos hexagonhoz. Kizárólag hatszöglapokból álló háromdimenziós mértani alakzat nem létezik. Más törvényszerűséget kell keresnünk, hogy megtaláljuk a térbeli megfelelőjét. Végülis nem is kell, mert már megtették ezt mások előttünk. A hexagonnak van egy olyan tulajdonsága, hogy önmaga ismétlésével képes egy síkot hézagok nélkül a végtelenbe terjeszteni. Ezt a tulajdonságot “tesszalációnak” hívják. A szabályos poligonok közül három bír ezzel a sajátossággal (egyenlő oldalú háromszög, négyzet és szabályos hatszög), ezek közül az utóbbinak a legkisebb a kerület/ felület aránya. A természetben több helyen is megfigyelhető ez a gazdaságos területhasznosító módozat, legismertebbek a méhek által épített struktúrák. 

A hexagon tesszalációs képességéből kiindulva megállapították, hogy háromdimenziós partnere a rombikus dodekaéder kell legyen. Ez a katalán test olyan módon tölti a teret, ahogy a hatszög a síkot, térkihasználása tehát maximális. Tizenkét azonos rombusz építi fel, melyek akárcsak a hatszög élei, 120 fokos szögekben metszik egymást. Az élhosszúság és a sarkok középponttól való távolságának tekintetében is szoros kapcsolat van e két forma között, mivel ezek mindkét esetben pontosan egyformák. Ahogy a hatszög felosztható három azonos rombuszra, ugyanúgy a rombdodekaéder is felosztható négy identikus romboéderre.

Legtisztábban úgy lehet ezt elképzelni, hogy úgy a hatszöges mozaikozás parcellái, mint a rombdodekaéderes 3D konstrukció építőkockái közé új, azonos formájú és méretű, “interszekcionális” sejteket helyezünk el, melyek az eredetiek középpontjait (kölcsönösen) érintik. A hatszöges mintázat esetében a metszések rombuszos mozaikozáshoz, míg ennek térbeli megfelelőjének esetében romboéderes felosztáshoz fog vezetni.

A tesszaláció doméniumban maradva észrevehetjük, hogy létezik egy az előbb említettnél is jóval egyszerűbb megfelelési kapcsolat a négyzetes tapétázás és a kockás tércsempézés között. Kizárólag tetraéderek felhasználásával viszont már lehetetlen a teret hézagok nélkül kitölteni , így a “háromszöges tapétázás” térbeli megfelelője nem lehet egy szabályos tetraéderek által alkotott rendszer, ahogy azt a szimplista logika megkövetelné. 

Tudtommal az egyetlen hivatalosan dokumentált, tetrahedrális szimmetrián alapuló 3D-s tesszalációs módozat a triakisz csonka tetrahedrális tércsempézés. Nevezhetjük-e ezt a háromszöges tapétázás térbeli megfelelőjének? Vagy létezne egy másik, ahol még több asszociációt találhatunk?

Ha a hatszöges és a háromszöges tesszalációk viszonyát vizsgáljuk, megállapíthatjuk, hogy az azonos méretű körbe írható, tapétázásban használt hatszögek és háromszögek pontosan 1:2 arányban állnak egymáshoz, vagyis kétszer annyi háromszögre lenne szükségünk, hogy ugyanazt a felületet lefedjük.

Ha egy hatszöget háromszöggé csonkítunk, a három levágott rész együttes felülete ugyanannyi lesz, mint a képződött háromszögé, formájuk meg azonos az ezt az egyenlő oldalú háromszöget középpontban három egyforma részre felosztó egyenlő szárú háromszögekével. 

Térjünk vissza a rombikus dodekaéderhez és próbáljuk átvinni ezt a műveletet a harmadik dimenzióba. Észrevesszük, hogy csonkítással nem tudunk hasonló eredményt elérni. Végülis a katalán testet alkotó négy romboédert kéne két egyenlő részre osztani. Ez viszont kicsit komplexebb beavatkozást igényel.

Már közelebb állunk a helyes megoldáshoz, ha összekötjük az alakzat három ellentétes sarok-párját (leszámítva az egymáshoz közelebb található negyedik párost). A keletkezett három szakasz a forma középpontjában metszi egymást, páronként három választósíkot kialakítva. Ezzel a módszerrel épp a tetrahedrális tércsempézőhöz jutunk.

Viszont az antiprizmák szimmetrikus megfelezése megvalósítható egyetlen választófelülettel is. Ezt pedig a középvonalukon cikkcakkban húzódó “rézsútos hatszögek” (kék keret a fenti képen) által határolt minimálfelületek fogják lehetővé tenni. Ahogy a 2D-s tesszalációban minden egyenlő oldalú háromszöget három másik identikus forma vesz körül, három oldal egybeesésével, ennek 3D-s megfelelője esetében minden alakzatot négy azonos forma kell közrezárjon, négy azonos felület egybeesésével.

Az elemi tetrahedrális tércsempéző az egyetlen, mely ezt a feltételt maradéktalanul teljesíti. 

***************************************************************************

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük