A fluid kontrasztoid

Egy hasonló elgondolási háttérrel rendelkező másik alakzat előzte meg a tangenciális kohéziót. Dióhéjban, mindkettő a korábbi fejezetben körülírt “ambivalens tölcséreken” alapul, a lényegi különbség köztük az, hogy amíg az első esetében az elsőszámú prioritás a konvex és konkáv komponensek közti fele-fele arány volt, addig a második esetében ezek összehangoltságán (folytonosságán) van a hangsúly.

*********************************************************************************

Megalkotása

1. A váz

Mivel zárt rendszer létrehozása a cél (térfogattal rendelkező alakzat), elkerülhetetlen, hogy a konvex alkotók hossza meghaladja a konkávokét. Egyenlő felosztásban a koherenciájuk csupán lineáris vagy planáris módon valósulhatna meg, mint a hullámpapír vagy a tojástartó esetében. Tetrahedrális szimmetria esetében ez kizárt. Mit lehetne akkor megőrizni a komplementaritás szintjén?

Talán lehetséges, hogy a rövidebb konkáv szakaszok pontos inverzei legyenek a konvexek azon részeinek, melyek a tölcsérek centrális struktúráját alkotják. Igen, így szerencsésen összeegyeztethetőek az elemek, ugyanakkor hamarosan kiderül, hogy csak két helyes megoldás létezik a problémára.

Megjegyzés: A szpeciális eset, mikor a négy tölcsér origója egybeesik a forma centrumában alapból bukik, mivel így a konkáv részeket elfednék a konvexek. 

a) Az eredeti metódus: Tudjuk, hogy a négy origó egy képzeletbeli szabályos tetraéder csúcsain található és a belőle kiinduló radiális görbék jól meghatározott síkokhoz tartoznak (összesen 3×4=12, de páronként egybeesve ez hatra redukálódik). Mivel a tetrahedrális tengelyek 109.47 fokos szögeket alkotnak egymással, valamint a tölcsérek görbéi kettesével koplanárisak az említett szögeket alkotó tengelypárokkal, csak két lehetőség van rá, hogy a szomszédos görbék konvex végei folytonosságot képezzenek, más szóval törésmentesen kapcsolódjanak. Ez bizonyos elliptikus ívekkel lesz megoldható.

Az alábbi képen a két megoldás egyike látható, amikor a kapcsolódás a 109.47 fokos szögen belül valósul meg (a másikat a 70.52 fokos komplementer szög jelenti).

Ebben az esetben a szükséges görbék egy sajátos ellipszis bizonyos szegmensei lesznek, melynek különlegességei a nagyátló és a kisátló közti sqrt(2)-es arány, valamint (ebből kifolyólag) a fókuszpontjai közti távolság és a kisátló hosszának egybeesése. Emez egy henger 45 fokos síkkal való metszéséből nyerhető legegyszerűbben.

A lenti ábrán az ellipszis (bal), valamint a szomszédos konvex és konkáv ívek összekapcsolásából nyert struktúra (jobb) látható az O1 és O2, valamint az ellenpontokon automatikusan létrejövő O1′ és O2′ tölcsérközpontokkal. A festett szegmensekhez tartozó zöld konvex alkotók pontos komplementerei a hasonló módon jelzett kék konkáv ívek egész hosszának. Hat ilyen nyolcasszerű zárt görbét nyerünk, ha a négy tölcsér összes görbéjét fluensen csatlakoztatjuk a konvex végekben (J1, J1′). Ezek az egyesült konvex párok a stella octangula (“csillagosított oktaéder”) tizenkét éle mentén rendeződnek el.

A konkáv végek tükörszimmetriával leképezik az origói folytonosságot (O1, O2), azonos csatlakozást hozva létre az ellenoldalon (O1′, O2′). Eképpen a kezdeti tetrahedrális szimmetria megduplázódik, oktahedrálissá mutálódik, következésképpen nyolc azonos, konektált tölcsérkeret jön létre. Itt a konkáv alkotók mindig szimultán két tölcsér részei, a konvexek meg a struktúrán belüli főszerepük mellett egyúttal más tölcsérek határait is képezik. Valójában mindegyik harmad két különböző tölcsér közös tartozéka (átfedés).

A másik megoldást a függőleges nyolcasra merőleges, nyúltabb formájú “komplementer nyolcas” jelentené (kifestetlen ellipszisek). Ahogy az ábrán megfigyelhető, ebben az esetben a görbületek lankásabban indulnak a tangenciákból és habár a csatlakozásoknál némi hátrányt behoznak, azonos centrum-origó távolságnál itt valamivel nagyobb kerület szükségeltetik (sugárfüggvényben sqrt(2)-szeres a különbség), tehát kevésbé “célratörő”, mint az első metódus. Maradunk hát a hatékonyabbiknál.

b) Kockából kiindulva: Vegyünk egy kockát és jelöljük be minden lapján az átlókat (összesen tizenkettő). Ezek az átlók a kocka éleivel páronként olyan egymást a forma szimmetria tengelyeiben merőlegesen metsző téglalapokat alkotnak (összesen hat) melyek nagy és kis oldalai közti arány sqrt(2). Vegyünk egyet közülük és mozdítsuk ki a saját síkjában szimultán a négy égtáj szerint pontosan egy hosszal, majd rajzoljunk az új, identikus téglalapok köré ellipsziseket. Ezek az ellipszisek tangensek lesznek egymással az eredeti téglalap négy sarkában. 

Őrizzük meg a hosszabb oldalak szerinti eltolással nyert két téglalap (függőleges tengely) körüli ellipsziseknek a tangens pontokon kívül eső részeit, míg a rövidebb oldalak csúsztatásából kapottak (vízszintes tengely) körüliekből csak az érintőkön belülieket. A négy szektor egyben (két nagyobb konvex és két kisebb konkáv) kiadja a nyílt nyolcasunkat. Végezzük el ugyanezt a műveletet a maradék öt “átlós téglalappal” és megvan a fluid kontrasztoid vázszerkezete.

Ez egyben úgy képzelhető el, hogy egy kocka éleit befele görbítjük olyan mértékben, hogy a sarkokban a kezdeti 90 fokos vektorok 0 fokossá szűkülnek (a szimmetriatengelyekre simulnak), s ezzel szimultán a lapok átlóit olyan mértékben kidomborítjuk, hogy a kezdeti 60 fokos csúcsvektorok 360 fokossá (ellenirányból tangens) változnak. Ezáltal teljes élfolytonosságot nyerünk a sarkokon keresztül az előbb megalkotott konvex és konkáv ívek törésmentes kapcsolódásából. 

*********************************************************************************

2. A felületképzés

A létrejövő hat nyolcasforma huszonnégy egyenlő részre osztotta a vázszerkezetet, ahol minden egyes 3D parcellát (J1O3’O1 az alábbi képen) egy konkáv és két konvex ív határol. A konvex ívek azonos méretűek és nagyobbak a konkávnál, viszont ennek pontos komplementerét magukban foglalják.

A háromoldalú keretek egyik alkotója sem koplanáris a másikkal. A felületképzés tekintetében a konvex és konkáv ívek közti folyamatos átmenetet a hármaskeretek által határolt minimálfelületek fogják megadni. Eképpen minden konvex alkotó olyan módon változik át konkáv alkotóvá, hogy a belső stabil végpontja (origó) körül 60 fokos fordulatot megtéve pontosan a saját konvex ívét képezi le a külső végpontjával (és viceversa). 

A minimálfelületek tengelyfüggvényű irányuk szerint két, egymással ellentétes hármas csoportba oszthatóak az egyes tölcsérszerkezeteken belül, ahogy az a jobbszélső képen látható: a balról jobbra forgók a zöldek, a jobbról balra forgók a pirosak. Viszont, mivel mindegyik minimálfelület szimultán két tölcsérhez tartozik, az irányuk is szimultán kétféle (ambivalens), attól függ, hogy melyik kapcsolatát vesszük alapul.

Az alakzat kifesthető pepita (sakktábla) mintára azt a szimpla szabályt követve, hogy az első lap kezdőszíne után minden szomszédos (konvex vagy konkáv élet osztó) lapja a másik szín legyen. Az átfedések miatt négy tölcsérben (O1, O2, O3, O4) a zöldek lesznek a balról jobbra, a pirosak meg a jobbról balra forgók, az ellentétes origók körüli négy tölcsérben (O1′, O2′, O3′, O4′) meg fordítva.

*********************************************************************************

Homeomorfizmus a kontrasztoiddal

Ez a forma szembetűnő hasonlóságot mutat az általam korábban megalkotott geometriai struktúrával, innen a névrokonságuk. Felfogható ennek egyféle aránytartó módosításaként vagy továbbfejlesztéseként is, aminek során a kontrasztoid tengelyei összecsúsznak a felezőpontokba, ennek következtében az élek behajlanak és megképezik a konvex alkotókat, a konkávok meg ezen pontok között alakulnak ki a tengelyek centrumból történő szimultán felhajlásaiból, kettessével egybeesve. Ugyanakkor sokmindent megőriz ezen alakzat alaptulajdonságaiból: oktahedrális szimmetria, kaleidociklusokat képező minimálfelületek, a harmadok egyszerre két kompozícióhoz való tartozása. 

A köztük lévő különbségek két kategóriába sorolhatóak a szabályosság függvényében. Egyfelől a rombikus dodekaéder keretre épülő formához képest az új alakzat összszimmetriája alacsonyabb fokú. A kontrasztoid 90 fokos hiperbolikus paraboloid oldalai már önmagukban is szimmetriakomplexumok, ennek és sajátos elrendezésüknek köszönhetően a centrumból kifele nézve a sarkok irányába pont ugyanaz a látvány, mint a nyolc, hármas csúcs felöl befele tekintve.

Másfelől, az élek viszonylatában magasabb szintű az összefüggés, mivel az alkotók fluidan kapcsolódnak egymáshoz (nincsenek sarkok). Eképpen a szögletes keret hármas éltalálkozásaiból tölcsérközpontok, míg a négyes csúcsokból lekerekített csatlakozási pontok lesznek. A kontrasztoiddal ellentétben, ami valójában nem egy önálló mértani test, hanem hat, élükben összeillesztett azonos rész alkotta kompozíció, a fluid változata egy kompakt alakzat.

*********************************************************************************

Említésre méltó

Ugyanazt a logikát követve, az ellentétes tangenciákat egy másik (szintén a rombdodekaéderes vázszerkezeten alapuló) felállításban kombinálva az alábbi képen látható, tetrahedrális szimmetriájú kompozíciót nyertem. Itt a pozitív alkotók nem folytatódnak fluidan a negatívakban, hanem ezek egymásra merőleges síkok tartozékai.

Ez egy meglehetősen “merész” elgondolás volt, mivel mind a négy alap 3D forma (kupola külső, kupola belső, tölcsér külső, tölcsér belső) esszenciája jelen van a felépítésében. Egy rövid ideig azt hittem, hogy a konvex (baloldali kép) és a konkáv (jobboldali kép) beállítások pontos komplementerek lesznek, következésképpen ez az alakzat is tesszalációs képességgel fog rendelkezni, azonban kiderült, hogy ez hamis feltételezés volt. Ennek ellenére a formának ígyis megvan az esztétikai értéke.

*********************************************************************************

Tangenciális kohézió

Körülírása

Összekapcsolt konvex és konkáv ívtriádok képezte vázon kifeszített, huszonnégy identikus hiperbolikus felület által alkotott, tetrahedrális szimmetriájú térkitöltő alakzat.

Olyan oldalak által közrezárt térrész, melyek két, egymással központban csatlakozó, a lehetséges legnagyobb görbülettel rendelkező, azonos tölcsérfelszín külső és belső részei közti szimmetrikus-folyamatos átmenetet képviselik.

*****************************************************************************

Az elképzelés

A nyeregfelületekkel való fordított viszonyon alapul. Miközben ezutóbbi főgörbéinek vektorai merőlegesek a függőleges tengelyekre, a keresett alakzat alkotói ezek érintői kell legyenek. Összetevői emígy bizonyos “fordított majomnyergeknek” tekinthetők, mivel a főgörbék mindkét esetben “S” formájúak, a köztük lévő lényegi különbséget a tengelyhez viszonyított antagonisztikus elhelyezésük adja. Az egyszerűség kedvéért, a két görbe általános dőlésének ábrázolására parabola szektorok helyett 90 fokos köríveket fogok használni az alábbi képen.

A majomnyereg egy a hiperbolikus paraboloidhoz hasonló hullámos felület, azonban ez nem kettes hanem hármas szimmetriával rendelkezik. Három “S” formájú főgörbéje (kék), valamint három egyenes szakasza (piros) van, miközben a struktúra többi részét az ezek közötti egyenletes átmenet teszi ki. Az origóban mindegyik radiális metszet vektorai merőlegesek a függőleges tengelyre.

Az alábbi ábra jobboldalán egy horn tórusz külső és belső felszíne (részlegesen) szimultán látható. Ha csak a felső féltekén lévő alkotókat vesszük figyelembe, beazonosíthatunk három centrumba konvergáló konvex ívet (zöld), melyek egy tölcsérbelsőre vagy “fekete lyukra” emlékeztető örvényszerű forgásfelszín részei. Ha meg csak az alsó féltekén lévő alkotókat vesszük számba, akkor ugyancsak három, de ezúttal a centrumból divergáló, valamint konkáv ívet találunk, melyek egy tölcsérkülsőhöz vagy tövishez hasonló forgásfelszín részei. Ahogy az nyilvánvalóan látszik: a kettő egymás ellentéte. Az “S” görbék itt az a+a-, b+b- és c+c- felezöld-felekék ívhullámok, melyek mind érintői a függőleges tengelynek.

Hogyan szerkeszthetnénk egy olyan formát, mely egyenletes átmenetet képezne ezen külső és belső tölcsérfelszínek között? Elméletileg, bizonyos értelemben a nyeregfelületek ellentétéről lenne szó, mivel ott a sima konvex (kupola külső) és sima konkáv (kupola belső) struktúrák “kereszteződése” valósul meg. Ez az “ambivalens tölcsér” lesz az alakzatunk alapmotívuma. Hagyjuk ennek a feladatnak a részleteit a későbbiekre és haladjunk tovább a nagyvonalakkal.

A másik prioritás az, hogy tetrahedrális szimmetriát nyerjünk úgy, hogy közben a konvex és konkáv összetevők között a legmagasabb fokú legyen a kontraszt (szakadékosság), ugyanakkor megőrizve a pontos fele-fele arányt is. Így már meglehetősen beszűkűl a lehetőségek tárháza és felvetődik a “legjobb megoldás” fogalma.

*****************************************************************************

Szerkesztés

1. A váz

Az előbb említett “legnagyobb kontraszt” vonatkozásában a korlátozó tényező a konkáv összetevők irányából jön, mivel a tetrahedrális felállítás négy tengelye nem engedi, hogy a görbület meghaladjon egy bizonyos mértéket. Elméletileg a konvex alkotók ennél sokkal nagyobb meghajlást tudnának produkálni, beleértve a sajátos esetet, mikor folytonosságot képeznének más oldalon lévő társaikkal.

Habár mindig a végleteket keresem, eleinte nem vettem észre a tengelyek menti konkáv alkotók és az ezeknek megfelelő konvex görbületek közti különleges kapcsolatot, mivel az utóbbiak látszólag nem érnek el konkrét határokat (kontinuitás vagy tangencia) ezeknél a szögeknél. Csak később tudatosult bennem, hogy ezek a pozitív kilengések is pontosan a tetrahedrális vázszerkezeten belüli lehetséges maximális elhajlást jelentik. Ennek folyományaként ez az alakzat is tesszalációs tulajdonsággal fog bírni, mint a korábbi cikkekben tárgyaltak.

Határozzuk most meg ezen ívek pontos mibenlétét. Röviden az adott rombdodekaéderes struktúra (élek és tengelyek) Bézier görbéi fogják őket megtestesíteni. Amúgy ez a keret pontosan egybeesik a kontrasztoid vázával, ezért a korábbi kompozíció derivátumának is tekinthető. Valójában mindkettő a tetrahedrális tércsempéző továbbfejlesztéséből származik, a köztük lévő lényegi különbség az, hogy amíg a kontrasztoid esetében a konvex és konkáv alkotók a kerettel egybeeső törtvonalakká módosultak, addig az új alakzat összetevői ezek egyenletesen lekerekített verzióját jelentik (lásd a fenti képen).

Ebben az értelemben a tangenciális kohézió alkotói átmenetet képeznek a tetrahedrális tércsempéző és a kontrasztoid összetevői között, nem csupán a térbeli elhelyezés tekintetében, hanem a közös tulajdonságok viszonylatában is: egyenletesek, mint a tetrahedrális tércsempéző egyenes szakaszai, de merőlegesen keresztezik az origót mint a kontrasztoid belső szegmensei.

Az elementáris tetrahedrális tércsempézőhöz hasonlítva a közös tulajdonság, hogy mindkettőnek egyenletesek a görbületei, az origó keresztezése viszont egészen más (vízszintes/ függőleges). Ugyanakkor az elhajlások ellentétes irányúak és jelentősebbek (109.47 fok/ 35.36 fok), vagyis a legnagyobb konvex ívek ott lesznek, ahol a másiknál a legnagyobb konkávok, míg a legnagyobb konkáv ívek ott, ahol a másik legnagyobb konvexei találhatóak.

Megjegyzés: Mindegyik tetrahedrális tértöltőnek a felszínén találhatóak a bizonyos O’ pontok, a középponttól fél-élhossz távolságra. Valójában az alakzatok között ennél sokkal több az egybeesés, ide sorolódik tíz csúcs (négy tetrahedrális, hat oktahedrális) melyeket tizenkét él és további tizenkét, sugaras triókat alkotó egyenes szakasz köt össze. Térfogataik is egyformák, mindegyiküké pontosan r^3.

2. A felületképzés

Térjünk most vissza az “örvény-egyesítéshez”. Úgy a külső, mint a belső tölcsérfelszínekből egymással az origóban törésmentesen kapcsolódó, szimmetrikus elrendezésű parabola ívtriádjaink vannak és ezek az alkotók lesznek az egyedüli összetevők, melyeket a szóban forgó forgásfelszínekből megtartunk. Az “S” formájú görbületek huszonnégy egyenlő részre osztják a vázat, ezek mindegyikét egy konvex, egy konkáv, valamint egy egyenes szektor határolja.

Felületképzés tekintetében a konvex és konkáv ívek közti egyenletes átmenetet az előbb említett három különböző szektor által határolt minimálfelületek fogják biztosítani.

Eképpen a konvex ív fokozatosan konkávvá alakul át, egy a belső, stabil végpontja körüli 60 fokos keringő mozgás folyamán, miközben a külső végpontja követni fogja a rombdodekaéder-keret élét. Majd a konkáv ív viceversa, vegül az adott ferde hatszögön belüli hatodik transzformáció után a kaleidociklus bezárul. Miután ugyanez a manőverkombináció lezajlik a tetrahedrális felállítás többi (három) ferde hatszögkeretében is az alakzat elkészült.

*****************************************************************************

Összefüggése síkbeli formákkal

Az elemi tetrahedrális tércsempéző leírásában megfogalmazott következtetésekből kiindulva a tangenciális kohézió 2D megfelelője egy bizonyos “torzított háromszög” kell legyen, mely egy a szabályos háromszöges tesszaláció módosításából létrejövő mozaikozást alkot.

Ezeknek a háromszögeknek az élei ugyanolyan módon térnek el az eredeti egyenes szakaszoktól, ahogy a tangenciális kohézió kaleidociklusai a ferde hatszögkeret által határolt minimálfelületekétől: mindkettő a lehetséges legnagyobb görbületet hozza létre a cellakeret (konvex alkotók), valamint a tengelyek (konkáv alkotók) által képezett határokon belül. A 2D forma esetében ez a keret egy szabályos hatszög, míg a 3D-s megfelelője esetében egy rombdodekaéder.

Mivel a síkbeli felállítás a hullámos háromszögek irányítását is feltételezi (óramutató járásával megyegyező vagy ellentétes), kijelenthetjük, hogy a szóban forgó térkitöltő alakzat valódi 2D megfelelője egyszerre mindkét irány. Ez könnyen reprezentálható egy átlátszó papír két oldalán.

Ha az ambivalens tölcsérek koncentrikus felépítését a majomnyergekéhez akarjuk hasonlítani, akkor az alábbi lineáris ábrázolással lenne kifejezhető a viszony esszenciája. Itt az “a” verzió fluid (piros) görbéi a nyeregfelületek jellegzetességeit, míg a “b” verzió csúcsíves (zöld) mintája (a váltakozó gerincek és sáncok 2D megfelelői) a tölcsérekét szemlélteti.

Végül, de nem utolsósorban az alakzat jelentése dióhéjban: “tangenciális”, mivel a konvex és konkáv alkotók a tengelyekre simulnak (vektoraik 0 fokos szögben találkoznak), valamint “kohézió”, mivel a jelentős szabdaltság folyományaként térfogat függvényében relatív nagy felülete van, emiatt erős a kötés a tesszaláció sejtjei között.

*****************************************************************************

*****************************************************************************