A fluid kontrasztoid

Egy hasonló elgondolási háttérrel rendelkező másik alakzat előzte meg a tangenciális kohéziót. Dióhéjban, mindkettő a korábbi fejezetben körülírt “ambivalens tölcséreken” alapul, a lényegi különbség köztük az, hogy amíg az első esetében az elsőszámú prioritás a konvex és konkáv komponensek közti fele-fele arány volt, addig a második esetében ezek összehangoltságán (folytonosságán) van a hangsúly.

*********************************************************************************

Megalkotása

1. A váz

Mivel zárt rendszer létrehozása a cél (térfogattal rendelkező alakzat), elkerülhetetlen, hogy a konvex alkotók hossza meghaladja a konkávokét. Egyenlő felosztásban a koherenciájuk csupán lineáris vagy planáris módon valósulhatna meg, mint a hullámpapír vagy a tojástartó esetében. Tetrahedrális szimmetria esetében ez kizárt. Mit lehetne akkor megőrizni a komplementaritás szintjén?

Talán lehetséges, hogy a rövidebb konkáv szakaszok pontos inverzei legyenek a konvexek azon részeinek, melyek a tölcsérek centrális struktúráját alkotják. Igen, így szerencsésen összeegyeztethetőek az elemek, ugyanakkor hamarosan kiderül, hogy csak két helyes megoldás létezik a problémára.

Megjegyzés: A szpeciális eset, mikor a négy tölcsér origója egybeesik a forma centrumában alapból bukik, mivel így a konkáv részeket elfednék a konvexek. 

a) Az eredeti metódus: Tudjuk, hogy a négy origó egy képzeletbeli szabályos tetraéder csúcsain található és a belőle kiinduló radiális görbék jól meghatározott síkokhoz tartoznak (összesen 3×4=12, de páronként egybeesve ez hatra redukálódik). Mivel a tetrahedrális tengelyek 109.47 fokos szögeket alkotnak egymással, valamint a tölcsérek görbéi kettesével koplanárisak az említett szögeket alkotó tengelypárokkal, csak két lehetőség van rá, hogy a szomszédos görbék konvex végei folytonosságot képezzenek, más szóval törésmentesen kapcsolódjanak. Ez bizonyos elliptikus ívekkel lesz megoldható.

Az alábbi képen a két megoldás egyike látható, amikor a kapcsolódás a 109.47 fokos szögen belül valósul meg (a másikat a 70.52 fokos komplementer szög jelenti).

Ebben az esetben a szükséges görbék egy sajátos ellipszis bizonyos szegmensei lesznek, melynek különlegességei a nagyátló és a kisátló közti sqrt(2)-es arány, valamint (ebből kifolyólag) a fókuszpontjai közti távolság és a kisátló hosszának egybeesése. Emez egy henger 45 fokos síkkal való metszéséből nyerhető legegyszerűbben.

A lenti ábrán az ellipszis (bal), valamint a szomszédos konvex és konkáv ívek összekapcsolásából nyert struktúra (jobb) látható az O1 és O2, valamint az ellenpontokon automatikusan létrejövő O1′ és O2′ tölcsérközpontokkal. A festett szegmensekhez tartozó zöld konvex alkotók pontos komplementerei a hasonló módon jelzett kék konkáv ívek egész hosszának. Hat ilyen nyolcasszerű zárt görbét nyerünk, ha a négy tölcsér összes görbéjét fluensen csatlakoztatjuk a konvex végekben (J1, J1′). Ezek az egyesült konvex párok a stella octangula (“csillagosított oktaéder”) tizenkét éle mentén rendeződnek el.

A konkáv végek tükörszimmetriával leképezik az origói folytonosságot (O1, O2), azonos csatlakozást hozva létre az ellenoldalon (O1′, O2′). Eképpen a kezdeti tetrahedrális szimmetria megduplázódik, oktahedrálissá mutálódik, következésképpen nyolc azonos, konektált tölcsérkeret jön létre. Itt a konkáv alkotók mindig szimultán két tölcsér részei, a konvexek meg a struktúrán belüli főszerepük mellett egyúttal más tölcsérek határait is képezik. Valójában mindegyik harmad két különböző tölcsér közös tartozéka (átfedés).

A másik megoldást a függőleges nyolcasra merőleges, nyúltabb formájú “komplementer nyolcas” jelentené (kifestetlen ellipszisek). Ahogy az ábrán megfigyelhető, ebben az esetben a görbületek lankásabban indulnak a tangenciákból és habár a csatlakozásoknál némi hátrányt behoznak, azonos centrum-origó távolságnál itt valamivel nagyobb kerület szükségeltetik (sugárfüggvényben sqrt(2)-szeres a különbség), tehát kevésbé “célratörő”, mint az első metódus. Maradunk hát a hatékonyabbiknál.

b) Kockából kiindulva: Vegyünk egy kockát és jelöljük be minden lapján az átlókat (összesen tizenkettő). Ezek az átlók a kocka éleivel páronként olyan egymást a forma szimmetria tengelyeiben merőlegesen metsző téglalapokat alkotnak (összesen hat) melyek nagy és kis oldalai közti arány sqrt(2). Vegyünk egyet közülük és mozdítsuk ki a saját síkjában szimultán a négy égtáj szerint pontosan egy hosszal, majd rajzoljunk az új, identikus téglalapok köré ellipsziseket. Ezek az ellipszisek tangensek lesznek egymással az eredeti téglalap négy sarkában. 

Őrizzük meg a hosszabb oldalak szerinti eltolással nyert két téglalap (függőleges tengely) körüli ellipsziseknek a tangens pontokon kívül eső részeit, míg a rövidebb oldalak csúsztatásából kapottak (vízszintes tengely) körüliekből csak az érintőkön belülieket. A négy szektor egyben (két nagyobb konvex és két kisebb konkáv) kiadja a nyílt nyolcasunkat. Végezzük el ugyanezt a műveletet a maradék öt “átlós téglalappal” és megvan a fluid kontrasztoid vázszerkezete.

Ez egyben úgy képzelhető el, hogy egy kocka éleit befele görbítjük olyan mértékben, hogy a sarkokban a kezdeti 90 fokos vektorok 0 fokossá szűkülnek (a szimmetriatengelyekre simulnak), s ezzel szimultán a lapok átlóit olyan mértékben kidomborítjuk, hogy a kezdeti 60 fokos csúcsvektorok 360 fokossá (ellenirányból tangens) változnak. Ezáltal teljes élfolytonosságot nyerünk a sarkokon keresztül az előbb megalkotott konvex és konkáv ívek törésmentes kapcsolódásából. 

*********************************************************************************

2. A felületképzés

A létrejövő hat nyolcasforma huszonnégy egyenlő részre osztotta a vázszerkezetet, ahol minden egyes 3D parcellát (J1O3’O1 az alábbi képen) egy konkáv és két konvex ív határol. A konvex ívek azonos méretűek és nagyobbak a konkávnál, viszont ennek pontos komplementerét magukban foglalják.

A háromoldalú keretek egyik alkotója sem koplanáris a másikkal. A felületképzés tekintetében a konvex és konkáv ívek közti folyamatos átmenetet a hármaskeretek által határolt minimálfelületek fogják megadni. Eképpen minden konvex alkotó olyan módon változik át konkáv alkotóvá, hogy a belső stabil végpontja (origó) körül 60 fokos fordulatot megtéve pontosan a saját konvex ívét képezi le a külső végpontjával (és viceversa). 

A minimálfelületek tengelyfüggvényű irányuk szerint két, egymással ellentétes hármas csoportba oszthatóak az egyes tölcsérszerkezeteken belül, ahogy az a jobbszélső képen látható: a balról jobbra forgók a zöldek, a jobbról balra forgók a pirosak. Viszont, mivel mindegyik minimálfelület szimultán két tölcsérhez tartozik, az irányuk is szimultán kétféle (ambivalens), attól függ, hogy melyik kapcsolatát vesszük alapul.

Az alakzat kifesthető pepita (sakktábla) mintára azt a szimpla szabályt követve, hogy az első lap kezdőszíne után minden szomszédos (konvex vagy konkáv élet osztó) lapja a másik szín legyen. Az átfedések miatt négy tölcsérben (O1, O2, O3, O4) a zöldek lesznek a balról jobbra, a pirosak meg a jobbról balra forgók, az ellentétes origók körüli négy tölcsérben (O1′, O2′, O3′, O4′) meg fordítva.

*********************************************************************************

Homeomorfizmus a kontrasztoiddal

Ez a forma szembetűnő hasonlóságot mutat az általam korábban megalkotott geometriai struktúrával, innen a névrokonságuk. Felfogható ennek egyféle aránytartó módosításaként vagy továbbfejlesztéseként is, aminek során a kontrasztoid tengelyei összecsúsznak a felezőpontokba, ennek következtében az élek behajlanak és megképezik a konvex alkotókat, a konkávok meg ezen pontok között alakulnak ki a tengelyek centrumból történő szimultán felhajlásaiból, kettessével egybeesve. Ugyanakkor sokmindent megőriz ezen alakzat alaptulajdonságaiból: oktahedrális szimmetria, kaleidociklusokat képező minimálfelületek, a harmadok egyszerre két kompozícióhoz való tartozása. 

A köztük lévő különbségek két kategóriába sorolhatóak a szabályosság függvényében. Egyfelől a rombikus dodekaéder keretre épülő formához képest az új alakzat összszimmetriája alacsonyabb fokú. A kontrasztoid 90 fokos hiperbolikus paraboloid oldalai már önmagukban is szimmetriakomplexumok, ennek és sajátos elrendezésüknek köszönhetően a centrumból kifele nézve a sarkok irányába pont ugyanaz a látvány, mint a nyolc, hármas csúcs felöl befele tekintve.

Másfelől, az élek viszonylatában magasabb szintű az összefüggés, mivel az alkotók fluidan kapcsolódnak egymáshoz (nincsenek sarkok). Eképpen a szögletes keret hármas éltalálkozásaiból tölcsérközpontok, míg a négyes csúcsokból lekerekített csatlakozási pontok lesznek. A kontrasztoiddal ellentétben, ami valójában nem egy önálló mértani test, hanem hat, élükben összeillesztett azonos rész alkotta kompozíció, a fluid változata egy kompakt alakzat.

*********************************************************************************

Említésre méltó

Ugyanazt a logikát követve, az ellentétes tangenciákat egy másik (szintén a rombdodekaéderes vázszerkezeten alapuló) felállításban kombinálva az alábbi képen látható, tetrahedrális szimmetriájú kompozíciót nyertem. Itt a pozitív alkotók nem folytatódnak fluidan a negatívakban, hanem ezek egymásra merőleges síkok tartozékai.

Ez egy meglehetősen “merész” elgondolás volt, mivel mind a négy alap 3D forma (kupola külső, kupola belső, tölcsér külső, tölcsér belső) esszenciája jelen van a felépítésében. Egy rövid ideig azt hittem, hogy a konvex (baloldali kép) és a konkáv (jobboldali kép) beállítások pontos komplementerek lesznek, következésképpen ez az alakzat is tesszalációs képességgel fog rendelkezni, azonban kiderült, hogy ez hamis feltételezés volt. Ennek ellenére a formának ígyis megvan az esztétikai értéke.

*********************************************************************************

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail címet nem tesszük közzé. A kötelező mezőket * karakterrel jelöltük