A tetrahedrális centrum-kontinuitás nyomában

Tervezéseim jelentős hányadát egy hipotetikus struktúra tökéletesítésének szenteltem, ami dióhéjban úgy foglalható össze, mint egy olyan tetrahedrális szimmetriájú alakzat, amelynek középpontja a felszínén található, miközben a lehető legmagasabb szintű felületi folyamatosság valósúl meg ezen a ponton keresztül.

A hosszan tartó “dinasztia” első és egyben legegyszerűbb képviselőjét négy gömb sajátos metszése hozza létre, ezáltal szoros rokonságban áll az első két 3D alkotásommal (lásd az előbbi részt).

Az új formát a fent említett műveletből származó hat dupla metszet együttese (beleértve a triplákat is) jelenti, ahol a négy gömböt olyan módon közelítjük egymáshoz, hogy egyetlen közös pontjuk legyen. Valójában ez egy másik, hatodkörívek által alkotott síkminta térbeli megfelelőjének tekinthető, amelyet három kör egy pontban való találkozása hoz létre.

A fenti kép jobbszélén beazonosíthatunk egy “kontinuitást” a függőleges, centrális vonal képében (valójában körív), amit egyik lebeny részlegesen takar. Hat ilyen, egymást középpontban metsző ív található az alakzat felületén. Azt hihetnénk, hogy ezek is szextánsok, az igazság viszont az, hogy valahol 1/5 és 1/6 között vannak.

Az első asszociációt megőrizve, a következő lépés további folyamatosságok elérésére irányult. Két módozat van rá, hogy meghaladjuk az eredeti felállást: egyik, hogy koncentrikus folytonosságot képezzünk a “hármas szirmokban”, a másik meg, hogy egyenletességet hozzunk létre az éltalálkozásokban.

A “koncentrikus típus” esetében négy tölcsér fogja felváltani a szirom-triókat, miközben az alkotók forgásfelületeket hoznak létre, a “csúcs típus” esetében pedig a hármaspontokban, az érintő síkhoz képest 0 (nulla) fokos vektor-konvergencia valósul meg, mivel ott a hat él egy gömbfelület tartozéka (109.47 fokos körívek).

Az ezt követő továbblépést a koncentrikus típus alkotóinak olyan jellegű módosítása jelentette, aminek folyományaként az eredeti forma külső szektorai eltűntek, konkrétan egyetlen pontba redukálódtak. A centrális folytonosság természetesen megmaradt (alábbi kép).

Ezen konstrukció továbbfejlesztéséből két, az előbbinél is magasabb fokú összkoherenciát képező másik született meg: az első esetében új folytonosságok jelentek meg az élek felezőpontjain keresztül, míg a második esetében a sarkok eltűntek az összefutó, nulla fokos vektorok képezte egyenletesség következtében. Elméletileg ezutóbbi az “első fokú csúcs típus” evolválásának is tekinthető.

Miközben különböznek, az elődjükhöz hasonlóan mindkettő négy egymást metsző forgásfelületből épül fel, ahol a görbületek közti eltérések adják a szpecifikus tulajdonságjavulásokat. Az elsőnél továbbra is diszkontinuitások vannak jelen a csúcsokban (árkok), míg a második esetében nem tompultak az élek. Egyik erőssége a másik gyengéje és fordítva.

A “végső szintet” egy olyan alakzat jelentette, amelyik az előbbi kettő előnyeit sikeresen keresztezte, míg domináns hiányosságaikat meg kiküszöbölte a felépítéséből. A dilemmát “redőzött tölcsérek” megalkotásával hidaltam át, amit hármas szimmetriájú, hullámszerű keringési pályát leíró alkotók képeztek meg, emígy megőrizve úgy a koncentrikus, mint a csúcsbeli folytonosságokat.

Ennek ellenére a forma mégsem tekinthető befejezettnek, avagy “archetipálisnak”, mivel az élek csupán elhalványodtak, nem tűntek el teljesen. Ugyanakkor valószínűleg az eredeti idea lehetséges legjobb gyakorlati megközelítése.

Valójában már jóideje gyanítottam, hogy az általam intuitívan keresett végcél egy már létező alakzat, melynek neve Steiner római felülete. Ez a szabályos trifólium térbeli leképződésének tekinthető és sok strukturális hasonlóságot mutat saját alkotásaimmal, kivéve, hogy önmetsző.

Amit én próbáltam az volt, hogy hasonló, teljes felületi folytonosságot érjek el ezen önmetsző tulajdonság kizárásával, ami végül lehetetlennek bizonyult. A realitás talaján maradva, “lehetséges maximum”-nak nevezhetjük a négyes szint eredményét ebben a kontextusban.

*********************************************************************************

Említésre méltóak

Létezik néhány, főként esztétikai szempontból figyelemre méltó másodlagos produktum, melyek felépítése JinJang-szerű komplementaritást tükröz.

Ezek közül kettő az élkeresztező/ koncentrikus 3-as szintű alakzat egyszerűsítéséből származik: egyiket ennek egyharmadának, a másikat pedig kétharmadának nevezhetjük. Az első egyféle “pszeudo hiperbolikus paraboloid“, a másik inkább az Enneper minimálfelületre vagy a cross-cap-re emlékeztető, beállításától függően.

Ennek ellenére, az említett háromtól eltérően, az általam megalkotott formák különböző forgásfelületek összeillesztéséből jöttek létre, így nem tekinthetőek valódi folyamatos struktúráknak.

Ahogy várható, két 1/3-as metszéséből egy 2/3-ast nyerünk (hasonlítsd össze a felső sor első két képét az alsó sor jobboldalijával). Mindkettő konvex szektorai a hármas szintű alakzat tölcséreinek külső felületének, konkáv tartományai pedig ezen tölcsérek belső felületének bizonyos részegységeiből származnak.

Az egyharmad főmetszete egy quadrifolium, ahogy azt az alábbi kép mutatja. Mellette jobboldalt egy szimmetrikusan pozicionált dupla alakzat látható (tehát hatszorosa), melynek középpontja, meglepő módon még mindig a felületén található (tizenkét irányból megközelíthető).

Egy másik elképzelésemet az előbbi 1/3-as inspirálta, ahol a csúcsíveket képező görbületek olyan módon változnak meg, melynek folyományaként teljes tangenciát (180 fokos vektor találkozást) alkotnak egymással, ami egy kétirányból szimultán összehajtott tórusz-szerű kinézetet eredményez. A köztük lévő szoros kapcsolatot leginkább a főmetszeteikre tekintve láthatjuk át.

Miközben az alkotók itt Bernoulli-lemniszkáta felek, ez a forma sem haladja meg a pszeudo-homogén állapotot, ugyanazt a négyes felosztást (ezúttal 180 fokos szegmensek képében) mutatva fel, mint az előbbi kettő.

Abban a periódusban, mikor elkezdtem kísérletezni a hullámos forgásfelületek képzésével, mely sajátos manőver végül a négyes szintű kontinuitás-kiterjesztés megalkotásához vezetett, előzetesen néhány másik modellt is terveztem.

Az alábbi képen látható első alakzat két, a második négy, míg a harmadik nyolc “hullám-felület” metszéséből jött létre.

Miközben az elsőt teljes fluiditás jellemzi, hiányzik belőle a tetrahedrális felépítés, a második már tetrahedrális, viszont a konkáv találkozásokban nem képez folyamatosságot (vagy tangenciát), míg a harmadik, hat lemniszkáta által alkotott vázra épülő, oktahedrális struktúra nemigen prezentál semmiféle komplementaritás effektust, mivel itt a konvex szektorok elfedték a konkávokat (ez részben az elsőre is érvényes).

Mindanozáltal egész harmonikus kompozíciók.

*********************************************************************************

A kezdetek

A mértan területén kifejtett alkotó tevékenységem konkrét kiindulópontját a hatodkörívek (szextánsok) különleges tulajdonságainak intuitív felfedezése jelentette. Sokkal inkább esztétikai szükséglet, mint tudásszomj volt ennek a pszichológiai mozgatórugója. Észrevettem, hogy ez a szimpla forma egyféle alap-összetevő, amiből különböző, megkapóan harmonikus struktúrát lehet a síkban képezni.

Egyáltalán nem túlzás a megszállottság kifejezést használni arra az intenzív pozitív érzésre, ami folyamatosan motivált, egyfelől, hogy gyakorlati szinten kisérletezzek ezzel az “absztrakt sejttel”, másfelől meg, hogy metafizikai szinten is elmélyedjek. 

Az általam elsődlegesen beazonosított kompozíciók az egyenlő oldalú háromszögek vázára épülő ív triádok voltak, amiből négy típus létezik: három konkáv, három konvex, két konvex és egy konkáv, egy konvex és két konkáv. Az alapháromszöggel való viszonyukból kiindulva ezeket “-3, +3, +1 és -1” névre kereszteltem, utalva a megkülönböztetésért felelős, kapcsolódó körszegmensek tájolására.

Három, egymást érintő (tangens) kör közötti hézag jelenti az első esetet (-3), a második és harmadik lehetőséget ugyancsak három, de ezúttal egymás középpontjait érintő körök közös halmazai biztosítják, ahol a központi hármas metszet a +3-as, a kettős metszetek pedig a +1-esek, végül a negyedik esetet két tangens kör, valamint a közéjük helyezett, az előbbiek középpontjait szimultán érintő, centrális harmadik jelentik, ahol a -1-esek a központi kör metszésből kimaradó szegmensei. A görbe oldalú háromszögeket szimmetrikusan összeillesztve nagyon szép mintákat kapunk, melyek a legkifejezőbbek, ha komplementer színeket használunk, sakktáblaszerűen. 

Megjegyzés: csak utólag hallottam a híres Élet virága mintázatról, felismerve, hogy ugyanazok az egységek építik fel, mint az általam generált kompozíciókat. 

A fenti JinJang-szerű konstrukciót hat fehér és hat fekete +3-as és -3-as, vagy hat +1-es és -1-es építi fel, attól függően, hogy az egyes háromszög oldalak kétoldalán húzódó ívek melyik felét tekinted határvonalnak. Mivel a konvex és konkáv görbék összege egyforma bármelyiket is választanád, úgy a fehér, mint a fekete szektorok felülete is ugyanakkora, mintha egyenlő oldalú háromszögeket vagy rombuszokat használtunk volna a tapétázáshoz. 

****************************************************************************

Habár direkt módon nem kapcsolódik ide, megemlíteném egy kisléptékű, viszont személyes tekintetben jelentős eredményre jutásomat: ez a “legtökéletlenebb háromszög” fogalma. Az elgondolás magva az egyenlő oldalú háromszöggel való fordított viszony, utóbbit tekintve a “legtökéletesebbnek” a kategóriában. Mivel ott mindegyik oldal egyenlő, az ezzel ellentétes esetben ezek a legkevésbé egyformák kéne legyenek. A háromszög oldalai közti viszonyt három arány határozza meg: a/b, b/c és a/c. Ahhoz, hogy a legegyenlőtlenebb komplexumot kapjuk, az ezen három viszony közötti legkiegyensúlyozottabb is a lehető legtávolabb kéne maradjon az egyformaságtól. 

A talányra az a/b=b/c; a=b+c kettős összefüggés adta meg a választ, ami egy ismert másodfokú egyenlethez vezetett, 1.618003…-as megoldással. Ez pedig nem más, mint (meglepetés!) az aranymetszés. Az így létrejött “legkevésbé szabályos háromszög” valójában egy egyenes szakasszá lapult ki, ahol két csúcs a végpontokban, míg a harmadik ezek között, egyikhez 1.618033…-szor közelebb található.

***************************************************************************

Idővel szó szerint “szintet léptem” és immár a harmadik dimenzióban kezdtem kutakodni, első célként a hatodkörív térbeli megfelelőjének a beazonosítását tűzve ki. Kissé kiábrándító volt rájönni, hogy ilyen dolog nem létezik, mivel egy gömbfelület konvex és konkáv részegységeit nem lehet a 2D-s tapétázáshoz hasonló komplementer módon összeillesztgetni. Azért továbbra is törtem a fejem, válaszokat kerestem. 

Első kiagyalásom a kifejezően “gömbök közti tér” névre keresztelt struktúra volt, ami konkrétan nem más, mint négy tangens gömb közötti anyaghiány, hézag. Mivel ez nem egy teljesen zárt űrrész, megállapítotam, hogy parciálisan “mesterséges módon” kell leválasztani az összefüggő térhálóból, ennek helyes módozata pedig az lenne, hogy a szűkületeknél vonom meg a határokat.

Akkoriban még azt hittem, hogy egy szorosan csomagolt gömbhalmaz egyedei között kizárólag ilyen tetrahedrális hézagok képezik a közöket, csak később értettem meg, hogy kétféle űrrész (a másik az oktahedrális) sajátos váltakozása adja ki a teljes képet. Valójában ugyanaz a tévedés, mint annak a feltételezése, hogy csupán szabályos tetraéderekkel maradéktalanul ki lehet tölteni a háromdimenziós teret (ide értve Arisztotelészt is). Ez így nem lehetséges, miközben egy bizonyos tetraéder-oktaéder kombinációval már igen. 

A régebbi 2D összefüggéseket követve a második (komplementer) ötletterv kiindulópontja az volt, hogy négy gömb olyan módon metssze egymást, aminek folyományaként mindegyik érinti a többiek középpontjait. Eképpen a centrális, a négyes metszet által határolt közös halmaz egy gömbszerű tetraéder lesz. A tetrahedrális hézaggal ellentétben, amit teljes mértékben nem lehet a háromszöghézagok 3D-s leképzésének tekinteni, ez a tetraéder, melyet kizárólag görbült, konvex felületek határolnak, pontosan a Reuleaux háromszög térbeli megfelelője. 

Néhány év múlva első ízben hallottam a 3D nyomtatási technológiáról és a virtuális dizájnerek, valamint fogtechnikusok segítségével hamarosan kezemben tarthattam a konkrét tárgyakat is. Következésképpen méginkább bevontam magam az érdekes alakzatok tervezésébe. 

****************************************************************************

A projektről

Üdv!

Gyerekkorom óta erős hatást gyakoroltak rám a mértani alakzatok, úgy a belőlük sugárzó szimpla esztétika, mint az elemek közötti komplex összefüggések okán. A szimmetria, az arányok, a komplementaritás és a koherencia képezik az általános formai szépség alapjait. Számomra a geometria egyféle “tömörített tudás” abban az értelemben, hogy gyakran spontán megértésekhez vezet, melyek néha egészen mély, sajátosan kielégítő megélésekkel egészülnek ki. Tudatosan kerülöm a mainstream ”szakrális” és ”spirituális” kifejezéseket abból a megfontolásból, hogy ne keverjék össze a munkásságom az áltudományos kategóriával. 

A blog célja, hogy megossza és megfelelően körülírja az általam felfedezett, érdekes tulajdonságokkal rendelkező mértani alakzatokat és kompozíciókat. Az “archetipálisnak”, avagy befejezettnek vélt formákhoz részletesebb leírások fognak tartozni, míg mások csak vázlatosabban lesznek megemlítve. Habár nem vagyok matematikus, mivel a pontosság itt alap, a prezentációk túlnyomóan technikai vonzatúak lesznek, csak néha feltűnő személyesebb kiegészítésekkel, mint egyes elnevezések és következtetések. Összességében a cél a tudomány és a művészet szerves ötvözése, ahol miközben ezek külön-külön is értékelhetőek, ugyanakkor egymással szimbiotikus konglomerátumot is képeznek. 

A 3D nyomtatási technológia fejlődésével és globális elterjedésével a “matematikai művészet” nevű feltörekvő, új doménium egyre nagyobb népszerűségnek örvend. Intuítív, fantáziavezérelt alkatként sosem indulok ki száraz algebrai képletekből, függvényekből. Általánosságként az alkotások egyszerűsített folyamata egy homályosan körvonalazott ötletet adó, bevillanásszerű észleléssel kezdődik, ezt egy gyakran hosszadalmas racionális intervallum követi, aminek folytán meghatározom a pontos összefüggéseket, majd lineáris logikai lépésekkel ezeket elérem és összehangolom, végül ezen utóbbiak, a 3D modellezés útmutatását szolgáló konkrét manőverekre való “lefordításával” záródik. 

A nevem Orbán Sebestyén Zsombor (Zéró), erdélyi szabadgondolkodó és független kutató vagyok, ez pedig a második blogom, amit a The Exiled Weatherman előzött meg.