Körülírása

Tizenkét minimál-felületből álló tetrahedrális alakzat, mely kiegészítő jellegű parabolikus ívekből felépített domború, illetve homorú keretek szimbiotikus összefonódásaként értelmezhető. 

**********************************************************************************

Az elgondolás

Egy kétirányúan megváltoztatott, szimultán kitáguló-összehúzódó szabályos tetraéderként képzeltem el, ahol a kidomborodások az élek mentén, míg a behorpadások a lapok mentén történnének. A két ellentétes torzulás magnitúdója el kell érje a tetrahedrális rácsszerkezet képezte határokat, mely a konvex alkotók esetében lekerekített találkozásokat (folyamatosság), míg a konkávak esetében az összetevők érintőleges (tangenciális) kapcsolódását jelenti. 

Eleinte tévesen azt feltételeztem, hogy a két ív azonos görbülettel fog rendelkezni, mitöbb azt reméltem, hogy három szomszédos domború görbe alkotta kompozíció tökéletesen fedi majd egymást a konkáv hármasokkal, következésképpen a köztük kifeszülő minimál-felületek hézagmentesen összeilleszthetőek lesznek a megfelelő elhelyezéssel. Noha elsőre kudarcként értelmeztem a melléfogást – fontolgatva, hogy adjam fel a projektet – később rájöttem, hogy eképpen még érdekesebb összefüggések alakulnak ki. 

Amíg a szimplista, intuitív megközelítés pontos egyezést kér az alkotók komplementaritását illetően, egy másik sajátos eset jelentkezik, mikor az ívek egy teljes fordulat függvényében kerülnek egymással kiegészítő viszonyba, mely nem csökkenteni, de épphogy fokozni fogja a struktúra általános koherenciáját. A bizonyosságot ennek vonatkozásában az hozta, mikor megértettem, hogy a domború és homorú ívek hajlás-összege 1080 (3 x 360) fok, avagy egy teljes fordulat mindhárom főtengely mentén. És valóban ez volt a helyzet, mivel az ívek megoszlása tökéletes összhangban van az XYZ koordinátákkal: 2 x 180 fokos görbület minden tengelyre. Emellett észrevettem, hogy egy minimál-felület kerülete szintén 180 fok, avagy épp „egy háromszögnyi”.

**********************************************************************************

1. A váz

A fentiekben már említett két különböző görbetípusból álló, a dupla-tetrahedrális keretrendszer mentén egymással harmonikusan összeszőtt csoportosulások fogják leírni az alapcella kontúrját. A domború ívcsoportosulásokat az egyik tetrahedrális vázszerkezetet meghatározó síkok mentén, míg a homorúakat a másik (komplementer) vázszerkezetet meghatározó síkok mentén kell megalkotni.

A konvex részt úgy lehet elképzelni, mintha az eredeti tetraéder élei annyira kidomborodnának, hogy a négy sarok teljesen ellaposodik, míg a konkávnál a görbéket olyan módon kell elhelyezni, hogy a hajdani csúcsok befelé hajló ívtriádokká alakuljanak át. Utóbbi esetben az eredeti egyenes élek a felezőpontokban megtörve, tangenciális görbepárokra oszlanak, melyek találkozásai a rájuk merőleges, szomszédos domború ívek felezőpontjaival esnek egybe (gondolj a stella octangula keresztjeire viszonyításként).

A konkrét számszerű aspektusok tekintetében a keret konvex részének esetében az alkotók 109.471 fokos, míg a konkáv félteke esetében 35.264 fokos felekre oszlott 70.528 fokos Bézier-görbék. A kettő egymás kiegészítője, így minden „keresztben” 180 fokos összeget adnak ki, míg tangenseik (mely az excentricitásért felelős) 2/1 arányban viszonyulnak egymáshoz, a domborúak előnyére.

Ezek a külső élek pontosan ugyanolyan hajlással rendelkeznek, mint egy klasszikus hiperbolikus paraboloid két főgörbéje (parabola szegmensek) és ha átfordítjuk őket az eredeti tetraéder hat éle szerint, találkozni fognak az alakzat középpontjában, mint három különböző, az XYZ koordinátarendszert követő hiperbolikus paraboloid alkotói. Másfelől ha a belső élek által képezett triókat invertáljuk a referencia oktaéder lapjai szerint, a találkozásaik egybe fognak esni azon hipotetikus paraboloidok fókuszpontjaival, amelyekhez a konkáv ívek tartoznak. 

Létezik egy érdekes összefüggés az ívtriádok excentricitása között, mivel a konvex kiemelkedések magassága pontosan akkora, mint a konkáv besüppedések mélysége. Ezen egybeesés oka az, hogy amíg a nagyobb görbületű (54.736 fokos) domború elemek a hátsó végeikkel, addig a kisebb hajlással (35.264 fokos) bíró összetevők az elülső végükkel csatlakozva építik fel az ívhármasokat. A parabola sajátos természete adja, hogy bár strukturálisan különböznek, a triók fesztávja és mélysége egyaránt azonos, következésképpen a „csúcsok” egyforma távolságra vannak a kereszteződésektől. 

**********************************************************************************

2. A felületképzés

A parabola-görbék térbeli elrendeződése tizenkét pseudo-rombikus szektorra osztja a vázszerkezetet, melyek mindegyike 2 db 54.73 fokos domború és 2 db 35.26 fokos homorú ívből épül fel. A görbék kezdővektorainak függvényében minden egyes hajlított rombusznak két 120 fokos (két konvex, valamint két konkáv összetevő között) és két 90 fokos (egy konvex és egy konkáv összetevő között) szöge van, 420 fokos összeget adva. Ezen a 12 kereten kifeszülő minimál-felületek lesznek a kérdéses alakzat lapjai. 

Attól függően, hogy a két tetrahedrális szimmetria melyikét vesszük alapul, ezek a felületek két fajta tripla párokba csoportosíthatóak. Egyik szimmetria szerint a lapok a homorú összetevők mentén kapcsolódnak, mikor is egy nyitottabb, a klasszikus parabola tányérra emlékeztető formát hoznak létre, ahol a domború ívek alkotják a peremet, míg a homorúak adják a struktúra mélységét. A másik szimmetria szerint a lapok a domború összetevők mentén kapcsolódnak és egy tagoltabb aspektust mutatnak fel, mivel itt a hat konkáv összetevő építi fel a peremet.

A domború elemek szögelőnye ellenére (54.76 fok vs 35.26 fok) az alakzat általános kinézete egyértelműen a konkáv doméniumba esik egy referencia oktaéder viszonylatában. Konkrétan, ezen oktaéder térfogata jóval nagyobb mint alakzatunké, mégha a konvex hármasok kidomborodása felül is múlja a konkáv triók besüppedését.

Ez a kontra-intuitív tény annak köszönhető, hogy egy zárt forma axiomikusan konvex, nem pedig semleges. Képzeljük el, hogy egymással váltakozó, azonos méretű domború és homorú ívekkel kéne bezárni egy hurkot. Ha meg akarjuk őrizni a vonal fluiditását muszáj lesz több konvex összetevőt használnunk, másképp a képződő hullámok a végtelenbe fognak terjedni egy egyenes mentén. Ugyanúgy, ha struktúránk esetében a domború és homorú ívtriádok egy sík mentén követnék egymást, akkor a konvexek valóban némi többlettel rendelkeznének a kiszorított tér függvényében. Azonban egy erősen korlátozott számú (itt 8 db) összetevőből álló zárt hurok esetében ez az előny elégtelen, így a konkavitás irányába tolva el a mérleg nyelvét. 

Klasszikus poliéderekkel való hasonlóság tekintetében 8 közös pontja van egy szabályos tetraéderrel, (4 csúcs és 4 lapközép), 6 közös pontja egy szabályos oktaéderrel (6 csúcs) és 10 közös pontja egy referencia rombdodekaéderrel. Térfogata kb 2.273-szer nagyobb a tetraéderénél, 1.76-szer kisebb az oktaéderénél (emlékezz a „konkavitás-dilemmára”), 2.64-szor kisebb a rombdodekaéderénél, valamint 5.53-szor kisebb az őt körülíró gömbénél. Egy hajlított rombikus lap felülete 1.206-szor kisebb a referencia tetraéder lapjainál és 1.016-szor nagyobb egy síkbeli rombikus lapnál. Felület-térfogat aránya nagyobb az összes plátói formáénál, a tetraédert is beleértve, mely közel áll hozzá. Sem felület, sem térfogat viszonylatában nem találtam releváns összefüggéseket a képletek meghatározására. 

A forma két különböző méretű tetraéder meghatározó síkjai közti szimbiotikus összevonásként is értelmezhető, ahol a nagyobbikba írható gömb a kisebbik köré írható gömbbel azonos. Eszerint a nagyobbik tetraéder lapjai befelé fognak hajlani (konvex), míg a kisebbikéi kifelé (konkáv), egy referencia oktaéder hat sarkában párokban találkozva. A tetraéderek élhosszai közti arány 3/1. Az előbbiekben említett „teljes fordulatok” úgy jönnek létre, hogy az ellentétes elhajlások összgörbülete pontosan 180 fok, mivel mindkét irányú torzítás az eredeti tetraéder-lapok közti 70.528 fokos szögből indul ki, csak míg a domborúak 109.471 (2 x 54.736) fokot adnak hozzá ehhez, addig a homorúak 70.528 (2 x 35.264) fokot vesznek el belőle. Ez a minta fraktál-szerűen a végtelenbe terjeszthető, ahol minden referencia tetraéder belsejében egy nála 27-szeresen (3 x 3 x 3) kisebb másik tetraéder lesz. Eképpen egyik lépték konvex tripla-találkozásai egybeesnek a következő (magasabb) lépték konkáv tripla-találkozásaival. 

**********************************************************************************

Összefüggése síkbeli formákkal

A szabályos hatszög és az oktaéder, valamint a rombdodekaéder közti korrelációból kiindulva, ezen alakzat 2D megfelelője egy váltakozó, 3 konvex és 3 konkáv 60 fokos körívekből (szextáns) álló struktúra kell legyen. Bár a 3D forma esetében a konvex és konkáv összetevők nem azonosak, hanem komplementerek, elhelyezésük a határoló keretben ugyanazt a mintát követi (merőleges, illetve tangens a főtengelyekre). Egy referencia hatszöghöz viszonyítva, a hatodkörívekből álló formának a felülete ezzel megegyező, mivel a konvex ívek ugyanannyit adnak hozzá, mint amennyit a konkávak elvesznek belőle. Megfigyelhető, hogy itt az ellentétes görbék kapcsolódása bizonyos szögben (90 fok) történik – a hullám nem folyamatos – így a hurkot fluidan bezáró „konvex szuperioritás” elve nem áll fenn. 

Amíg ezen 2D formák végtelenbe ismételhetően parcellázzák a síkot a hatszöges mintázat szerint, 3D megfelelőik önmagukban nem bírnak ezzel a képességgel. Azonban létezik egyféle, fél-szabályos elrendezés, ha a konkáv összetevők vonalán csatlakoztatjuk a darabokat. Emígy bizonyos „pseudo-hurkok” keletkeznek minden 8 darab között, melyek alkotói egy kockás términtát követnek. Ha kijelöljük ezeket a kockákat, valamint az eredeti tetraédereket, akkor ezek megoszlása a térben egész érdekes lesz: a kockák 8 sarka a tetraéderek 4 lapközepét fogja érinteni. Ha végtelenbe terjesztenénk ezt a méhsejtet, a kockák és a tetraéderek közti arány pontosan 1/2 lenne, mivel minden kockát 8 tetraéder vesz körül és minden tetraéder körül 4 kocka van. Megjegyzés: méreteik különbözőek, a kockák oldalai 2/gyök3-szor hosszabbak a tetraéderéinél. 

És végül a nevéről dióhéjban: „parabolikus” , mivel a vázat kizárólag parabola-ívek építik fel és „koherencia” , mivel az elemek között sokrétű, komplex összefüggés áll fenn. 

**********************************************************************************

Említésre méltóak

Létezik még két, a parabolikus koherenciához szorosan kapcsolódó másik alakzat, melyeket valamivel korábban fedeztem fel. A hasonlóság alapját a felépítésükben jelenlévő azonos külső (domború) élek adják.

Egyikük esetében a minimál-felületek ezen 109.471 fokos parabola-ívek tripla párjai között jönnek létre négy „majomnyereg-szerű” struktúra formájában, ennek következtében leginkább az elemi tetrahedrális tércsempézőre emlékeztet.

A másik variáció esetében a belső ívtriádok újra a tetrahedrális elrendeződés szerint oszlanak meg, viszont ezúttal nem a domború alkotók élfelezőiben, hanem ezek hármas csomópontjaiban futnak össze velük. Eképpen, bár a fesztáv (mely a tetraéder élhosszának függvénye) azonos, a homorúság mértéke csupán a fele mint előbb – a Bézier-görbék 35.26 helyett 19.47 fokosak – a mozgástér jobban korlátozva lévén a szomszédos tengelyek által.

**********************************************************************************