Leírás

Mint általános elgondolás, ezen forma esszenciája jóval hamarabb, nem sokkal a tangenciális kohézió megtervezése után fogalmazódott meg bennem. A nagy vizuális eltérés ellenére a kettő valójában egész közeli rokonságban áll: konkrétan mindegyik nagy „S” alakú görbén osztoznak, noha ezenkívűl semmi máson. Miközben az előbbi a homorú és domború íveket a legdirektebb módon, minimálfelületekkel kötötte össze, az új alakzat ennél egy kicsit bonyolultabb.

Itt, a kaleidocikluson belüli keringés folyamán a szomszédos ívek nem közeledni fognak egymáshoz, a vízszintes sík mentén félúton találkozva, hanem ellenkezőleg, addig távolodnak, míg mindketten egybeesnek a forgástengellyel. A kapcsolódást az fogja létrehozni, hogy a divergencia végül eléri a 180 fokot, mikor is a kettő egyazon egyenesre fekszik rá, csak ellentétes irányból. Eltérően az átfedéssel, itt egyetlen közös pontjuk a kaleidociklus közepe lesz. Az alábbi stilizált ábra a két helyzet közti viszonyt szemlélteti: amíg az „A” esetben a kék és zöld háromszögek osztoznak egy oldalon, a „B” esetben ezek csupán ugyanazon az egyenesen fekszenek.

Hogy még több érdekes összefüggést találjunk, vissza kell térnünk az elemi tetrahedrális tércsempézőhöz. Az új forma ennek az alakzatnak egyféle „invertálása”, teljes kifordítása a rombdodekaéderes cella négy romboéderének függvényében. A tangenciális kohézió esetében az invertálás csak részleges volt, a függőleges „S” alakú alkotók véve át a vízszintesek helyét, miközben a szomszédos görbék félúton, a vízszintes síkban kapcsolódtak össze minden 60 fokos keringést követően. Itt azonban a keringő mozgás okozta átváltozás (a felszín létrehozása) is fordított, emígy nemcsak a nagy „S” alakú görbék, de minden ezek közötti szegmens is érintője lesz a függőleges tengelynek.

Amíg az elemi tetrahedrális tércsempéző esetében a kaleidociklus közepén áthaladó függőleges síkok vízszintes tangenciákban metszik a felületeket, a tetrahedrális divergencia esetében ezek a tangenciák függőlegesek lesznek. Lássuk, hogyan is fog mindez megnyilvánulni a gyakorlatban.

********************************************************************************

Szerkesztés

1. A váz

A fentiekben megfogalmazott koncepció megköveteli, hogy a kaleidocikluson belül minden 30 fokos keringési mozgás folyamán egyik nagy görbe (az „S” forma fele) a függőleges tengellyé alakuljon át. Ennek az egyenes szakasznak a pontos hossza a rombdodekaéderes cella tetrahedrális sugara lesz, miközben a kettejük közé eső rész ezen téregységen belül kell maradjon, ugyanakkor folyamatosan érintve a határait.

Ez a művelet a térfelosztást a tangenciális kohézióhoz képest megduplázza, emígy 24 azonos keret helyett itt 48-at fogunk kapni. Mindegyikük három szegmens által határolt, melyből egyik az „S” görbe fele, egyik az egyenes (fél)tengely, egyik meg az első mozgó végpontja által leírt pálya, miközben a másodikba alakul át. Határozzuk meg ezen harmadik szegmens mibenlétét.

A tangenciális kohézió esetében (de a tetrahedrális tércsempéző, elemi tetrahedrális tércsempéző, valamint a kontrasztoid esetében úgyszintén) ennek megfelelője a ferde hatszög-keret (kaleidociklus külső határa) élhosszának fele.

Itt azonban a leírt útvonal nem egyenes lesz, hanem egy másik Bézier görbe, mely a fentebbi két rajzon zöld színnel van ábrázolva. Az első képen a belső végpont (A) a 30 fokos elmozdulás függvényében (a keringéssel kapcsoltan), míg a külső végpont (B) az érintett rombuszlap nagyátlója viszonylatában (a folyamatos emelkedéssel, illetve ereszkedéssel kapcsoltan) kell tangens legyen. A második képen egy 12 zöld görbéből álló csoportosulást láthatunk a négy romboéder egyikének belsejében (egy kaleidociklus), ugyanakkor az „S” görbék kékkel, a forgástengely meg pirossal vannak megjelenítve.

A fenti ábra a 48 minimálfelület egyikének oldalnézetét mutatja („fél levél”), ahol a három határoló szegmens a korábbi útmutatás szerint van színezve.

2. A felületképzés

Miután az alapminta kerete készen van, a következő lépés ugyanaz, mint sok más korábbi alakzat esetében: megalkotjuk a három él által (itt két Bézier görbe és egy egyenes szegmens) határolt minimálfelületeket. Egy kaleidocikluson belül 12 minimálfelület jön létre, 6 a felső és 6 az alsó oldalon (lásd a lenti ábrát).

Ezek kettőnként osztozni fognak egy fél „S” görbén (jobb és baloldali), egy ilyen pár levélre emlékeztető struktúrát képez. Három levél van fent és három lent, szimmetrikus antiprizmális kompozícióban elrendezve: a függőleges sík viszonylatában ahol az egyik triád levele van, a másik hézaga található és fordítva. A felülnézet egy „élet virága” alapmintához hasonlatos, miközben a teljes térbeli elhelyezkedés ennek egyféle 3 dimenziós verziója.

A belső négy kaleidociklus (4×3 levél) egy bizonyos 8 ágú (4 rövidebb + 4 hosszabb) csillag formájú térrészt fog bezárni, miközben a külső négy különálló, térfogat nélküli hiperbolikus felület-csoportosulás marad. Ez csupán addig, míg össze nem illesztjük őket más tetrahedrális divergenciákkal a rombdodekaéderes tércsempézés szabályát követve, amikor is minden külső levél-hármas 3 vele azonos másikhoz csatlakozik, elméletileg a végtelenbe terjesztve a 8 ágú csillagos mintát. A lefedés a rombuszlapok felületein található Bézier görbék mentén történik, a végeredmény egy, a tetrahedrális molekuláris geometriát követő térháló lévén.

********************************************************************************

Összefüggése síkbeli formákkal

Az alábbi rajz a tetrahedrális divergencia síkbeli leképzését ábrázolja (zöldes-kék szín). A hatszöges mozaikozás a rombdodekaéderes tércsempézés két dimenziós megfelelője, ahol a virágszerű minta a hézagokat, míg az ezeket elválasztó köztes háló az előbbiekben leírt 8 ágú csillagok síkbeli verziója (itt 6 ágúak).

Minden hatszöges cellában egy 6 ágú csillag (a piros háromszögen belül), valamint 3 különálló, más csillagokhoz tartozó harmad (a piros háromszögen kívül) van, melyek középpontjai az eredeti hexagon 3 szimmetrikus sarkán találhatóak. Az általuk alkotott végtelen tapéta a háromszöges mozaikozáson alapul.

********************************************************************************