Körülírása

Egy tengelyek mentén önmetsző minimálfelület-együttes, mely csúcsos szingularitást képező parabolaív-párok alkotta kereteken kifeszülő, három centrálisan összekapcsolt ellentétes elemből áll.

Az elgondolás

Az alapminta egyféle „inverz hiperbolikus paraboloid”, ahol a vízszintesbe való fokozatos beolvadás helyett, a központon áthaladó összes merőleges metszet a függőleges tengely felé közelít.

Hogy megértsük ezt a perspektívát, értelmezzük a hiperbolikus paraboloidot egy domború meg egy homorú ív közti folyamatos átmenetként, ahol a görbület mértéke fokozatosan csökken félútig, ahol egyenes vonalba laposodik. Ellentétben ezzel a felállással formánk két vége diametrálisan ellentétes, egymásra merőleges csúcsos szingularitás, melyek fokozatosan a függőleges tengelybe alakulnak át.

Megalkotása

1. A váz

Első lépésként létrehoztam hat központban összefutó csúcsos szingularitást, melyek egyenként koplanárisak egy szabályos tetraéder hat élével, ahol a végpontok a tetraéder csúcsain helyezkednek el. Emígy a görbületek a tetraéderélek vonalából indulnak és a három főtengely felé közelítenek. Ez a felállás hasonló, de fordított viszonyú mint amit három, tengelyek mentén egymást metsző hiperbolikus paraboloid főgörbéi képeznek, ahol szintén három diametrálisan ellentétes egymásra merőleges elemet találunk.

Bár szimmetriájuk azonos, csupán öt közös pontjuk van, ezek a tetraéder négy csúcsa és a centrum. Erre vonatkozóan a hiperbolikus paraboloid főgörbéi 109.47 fokos parabola szegmensek, miközben a konkáv sugárzást két egyforma, de aszimmetrikus lefutású Bézier-görbe alkotja. Ha egy szimmetrikus 90 fokos parabola szegmens végei érintői egy egyenlőszárú derékszögű háromszög befogóinak, az általunk megfogalmazott egy olyan derékszögű háromszög befogóinak lesz érintője, ahol ezek gyök 2 arányban viszonyulnak egymáshoz. Ez azért, mert egy rombdodekaéder lapjainak kis és nagy átlói mentén alakulnak ki.

És elérkeztünk a trükkösebb részhez. Amíg a hiperbolikus paraboloid esetében a domborúból homorú ívbe történő fokozatos átalakulás a tetraéderélek mentén zajlik le egy teljes fordulatot írva le az alkotóval (fél ív) egy élnégyes képezte „csavarodott négyszög” keretet követve, addig alakzatunk esetében a pontos keringési pálya meghatározása kevésbé magától értődő, mivel a függőleges tengely ami felé az átalakulás kell közelítsen, koplanáris magával az alkotó görbével.

Az első következtetésem az volt, hogy ez a hipotetikus leírt út mindenképpen görbe szegmens kell legyen, mely először elhagyja a csúcsív síkját az alkotóból indulva, majd visszatér belé a főtengelyben. A második következtetés az volt, hogy a végső vektor vetülete 45 fokos szöget kell bezárjon a kiindulási csúcsív síkjával, mivel 90 fokot az átmérősen ellentétes komplementer csúcsív egyik alkotójával közösen fognak lefedni, majd visszatérve az eredeti féltekére ez még háromszor fog megismétlődni, míg a teljes 360 fokos keringés lezárul. A tetrahedrális csúcsok adottak, de pontosan hová esnek ezek a „visszatérési pontok” a tengelyeken?

Az áttörés akkor történt meg, mikor rájöttem, hogy ezt úgy lehet a legkoherensebben megvalósítani, ha a kérdéses útvonal formája pontosan ugyanaz, mint az alkotónak magának, következésképpen minden egy rombdodekaéderes rácsszerkezeten belül fog történni, ahol két ilyen szomszédos útvonal koplanáris lesz, azonos csúcsos szingularitásokat képezve az eredetiekkel. Eképpen a leírt utak főtengelyeken fekvő végpontjai centrumtól való távolsága a rombuszlapok kis átlói, míg a referencia tetraéder élei ugyanennek a nagyátlói.

2. A felületképzés

Az előbbiekben meghatározott keret összetevői két, formailag azonos Bézier-görbe halmazba csoportosíthatóak: 24 külső görbe, melyek páronként koplanárisak a rombdodekaéder lapjaival, valamint 12 belső görbe, melyek ugyanazon poliéder belső rombuszain fekszenek. Ezek a 3 főtengellyel együtt 24 háromszögű szegmensre osztják fel a struktúrát, mindegyiküket két szomszédos (külső és belső) görbe, valamint egy féltengely épít fel. Az ezeken kialakuló minimálfelületek lesznek a Hiperkonkáv oldalai.

Bár ez volt a konkrét lépéssorozat ahogyan megalkottam őket, valójában nem 24, hanem csak 12 minimálfelület létezik, mivel a keretek felépítésében említett tengelyek két, azonos belső ívpáron osztozó, valamint különböző, de átlósan összekapcsolt külső ívpárok által határolt, duplaméretű hiperbolikus felületek metszésvonalaira esnek (a felső ábra jobboldala). A konstrukciónak 11 meghatározó pontja van, ebből 10 csúcs (6 dupla, 4 tripla), valamint egy a középpont.

A kompozíció egyedi sajátossága, hogy egyetlen, a központon áthaladó metszete sem tartalmaz domború részeket, emígy az egyenes tengelyeket leszámítva ezek kizárólag homorúak, innen a „hiperkonkáv” elnevezés. Miközben ugyanez érvényes szimplább formák esetében is, mint pl a gömb vagy akár bármely ellipszoid, emezek zárt rendszereket alkotnak, következésképpen a külső perspektíva számára hozzáférhetetlenek. Egy félgömb belseje egyaránt konkáv és kívülről is megfigyelhető, viszont itt a teljes térlefedés hiánya lesz a korlátozó tulajdonság. Ami a hiperboloidot illeti, ott a homorú kontinuitás csupán a forgástengely mentén valid, az erre merőleges metszetek esetében már domborúak, konkrétan kör alakú szegmensek.

A konstrukció másik különlegessége a komplementer jellegű szimmetrikus szegmensek egybeeső körvonalai által létrehozott vizuális koherencia, minek folytán néha hármas, néha négyes, mandulaformájú elemekből álló fürtök passzolnak össze, mivel a vetületük azonos. Eképpen a konvex (koncentrikus) külső ívek által határolt anyaghalmaz pontosan kitölti a konkáv (radiális) belsők közti azonos formájú réseket.

Miután felismertem ezt az egyedi tulajdonságot, rájöttem, hogy a négyes lefedések esetében úgy a konvex, mint a konkáv élek három, egymást merőlegesen metsző négyzetre rajzolt 90 fokos parabola szegmensek által alkotott csúcsos szingularitások vetületei, ahol az eredeti ívek a rombuszlapok dőlésének függvényében torzulnak.

Miközben alapfogalmilag rokon, ez az illeszkedési tulajdonság nincsen jelen a tetrahedrális divergencia esetében, s bár nagyvonalakban emlékeztet rá, ezen kompozíció egészen más strukturális elrendezéssel bír, jelentős hézagokat prezentálva minden nézőpontból, mitöbb ott még a külső és belső ívek sem azonosak.

Visszatérve a korábban említett négyes mintára, ha perspektíva viszonyítást folytatunk egy három egymást metsző hiperbolikus paraboloidok által képezett kompozícióval, megfigyelhető, hogy a közös négyzetkeret mellett itt a függőleges rálátású összetevő láthatósága megfeleződik, mivel a homorú részeket kitakarják a másik két hiperbolikus paraboloid domború szegmensei, miközben a konkáv sugárzás esetében nincsen kitakarás, a három összetevő kontúrjai pontosan egybeesnek. Itt a mandula formájú elemek által alkotott kereszt képezi a függőleges nézetet, míg a maradék szektorok a két, átlósan elhelyezkedő, ferde nézetű között oszlanak meg.

Összefüggése síkbeli formákkal

A Hiperkonkáv 2D megfelelője egy bizonyos, a rombuszos mozaikozáson belüli mintázat, melynek legjobb ábrázolására három szín szükségeltetik. Mivel a radiális hézagok konkáv éltriói által határolt tér pontosan ugyanolyan formájú, mint amit a külső konvex körvonalak fognak alkotni a szomszédos cellákon (tesszaláció) fekvő azonos alkotókkal, két ellentétes színt (fehér és fekete) kell választani, hogy ezt az elrendezési dichotómiát (telt vs üres) relevánsan kifejezze a síkban.

Eképpen a fehér színű belső hézagtriók komplementerei a széleken elhelyezkedő, feketére festett szegmensek lesznek, miközben a szürke – mint átmeneti árnyalat – a közöttük lévő részeket fedi le, ahol a telt és üres közti „anyagvékonyodás” megy végbe, ami ebben a kontextusban a konkrét eredményünk. Megfigyelhető, hogy síkban úgy a belső, mint a külső görbék homorúak lesznek, három, hatodkörívek által határolt, csúcsaikban érintkező pseudo-asztroidot alkotva.

Sajátos felépítésének köszönhetően ezen alakzat egy külsejével befelé, valamint belsejével kifelé elhelyezkedő kompozícióként is értelmezhető, mivel a hiperbolikus felületek teljes egészében a rombdodekaéderes cellák határait képező keresztmetszetektől befelé találhatóak.