Ami a konkrét fizikai körülményt illeti, ezen alakzat eszményi térben való fogamzásának meglehetősen érdekes története van: egy Dél-Amerikából Európába tartó hosszú, éjjeli repülésem során képzeltem el, az Atlanti-óceán kellős közepén. Amint látod, le is hullott a lepel a becenév eredetéről, evezzünk hát mélyebb vizekre, avagy térjünk a mértani jellemzők részletezésére.

Körülírása

Egy tangenciális sarkokkal rendelkező, görbült rombikus kereteken függő 12 minimálfelületből álló együttes, melyben a forma középpontja a négy tetrahedrális csúccsal a szabályos oktaéder élei viszonylatában ellenpólusosan kötődik össze.

**********************************************************************************

Az elgondolás

Akárcsak a tangenciális kohézió esetében, az elképzelés alapja itt is a lehetséges legnagyobb görbülettel rendelkező tölcsérfelszínek külső és belső felületei között létrehozott folyamatosság volt.

Miközben elődje esetében a domború és homorú ívtriádok (az alkotók) egymás fölé rendeződnek, itt ezek elkülönült részlegeken foglalnak helyet, egyféle kockás mintát követve az oktaéderes vázszerkezeten belül, ahol az egyik tetrahedrális kompozíció elemei a középpont felé behajlanak, a másikéi meg épp ellenkezőleg, kifelé tartanak.

**********************************************************************************

Megalkotása

1. A váz

Hogy eleget tegyünk a fentiekben megfogalmazott felvetésnek, az oktaéder vázszerkezetét kell tekintenünk fő határvonóként. Eképpen a keresett ív az alábbi háromszöghöz tartozó Bézier-görbe lesz, ahol CB az oktaéder egyik tetrahedrális tengelye (lap középpont – alakzat középpont):

Ebből az ívtípusból 24 darabot kell az oktaéderes keretbe helyeznünk, szimmetrikus hármas párokba rendezve. A plátói test 12 élének mindegyikéhez 2 befelé és 2 kifelé görbülő alkotó fog tartozni, ahol a kezdővektorokat mindkét irányban az oktaéder lapjainak síkjai határozzák meg, míg a végső vektorok érintői lesznek a tetrahedrális tengelyeknek.

Ezt úgy tudod könnyebben elképzelni, hogy a kapcsolódó oktaéder oldalait sakkminta alapján színezed, ahol a 4 fehér a kifelé, míg a 4 fekete a befelé hajló ívhármasokat fogja jelenteni. Az alábbi kép szemlélteti, hogyan fognak megoszlani a görbék két szomszédos oldalon.

2. A felületképzés

Miután az alapminta váza készen áll, a következő lépés ugyanaz, mint sok másik korábban tervezett forma esetében: a görbék által alkotott kereteken minimálfelületeket fogunk létrehozni.

Ezesetben az ívek tangenciálisan elfajult rombuszos parcellákat képeznek, melyek az oktaéder két szomszédos lapjának harmadait kötik össze az élek mentén. Egy ilyen görbült rombikus felületnek két nulla fokos, „hiperbolikus” (2 domború, illetve 2 homorú ívtalálkozásnál) és két, az eredeti oktaéderes lapszerkezet oldalfelezői által alkotott 48.18 fokos (1 konvex és 1 konkáv ív találkozásánál) sarka lesz.

A forma szimmetriája tetrahedrális, térfogata pedig pontosan megegyezik a szabályos oktaéderével, mivel a belső hiányrészek formája megegyezik a külső többletekével. Következésképpen a konkáv részek megalkothatóak a konvexeknek az oktaéder lapjai szerinti tükörfordításával és vice versa.

Miközben két ellentétes oldal megfelelő illesztéssel tökéletesen fedi egymást, az alakzatnak nincs valódi tércsempéző tulajdonsága (nem tud méhsejteket alkotni) ugyanazon okból kifolyólag, amiért az oktaéder sem képes erre önmagában, csak a tetraéderrel bizonyos módon társulva. Lásd itt.

**********************************************************************************

Összefüggése síkbeli formákkal

Az egyenlő oldalú háromszög és a szabályos tetraéder, valamint a hatszög és az oktaéder közti rokonsági viszony alapján, ennek az alakzatnak a 2D megfelelője egy bizonyos, a hatszöges kereteket követő rombusz-trió kell legyen, ahol minden egyes összetevőnek két konvex és két konkáv oldala van. Valójában ez a forma három azonos darabból álló kompozíció, melyek csak a középpontban érintkeznek.

Amíg az oktaéder esetében az ön-tércsempézés megvalósíthatatlan, síkverziója – a hexagon – számára ez lehetséges, ebből kifolyólag alakzatunk 2D megfelelője is birtokolja ezt a képességet.

A minta-ismétlődés megfelelő megjelenítésének érdekében a szokásos két szín helyett itt négyet kell használnunk, máskülönben az élek fele esetében színátfedéssel kell számolnunk. Eképpen minden azonos színű rombikus-triónak a maradék három színnel reprezentált szomszédai lesznek.

*********************************************************************************